2．选择题的作答每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
第Ⅰ卷 一、选择题本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．[2019广安期末]已知集合，，则集合（ ） A．B．C．D． 2．[2019齐齐哈尔一模]（） A．B．C．D． 3．[2019济宁一模]如图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量单位套与成交量单位套作出如下判断 ①日成交量的中位数是16；
②日成交量超过日平均成交量的有2天；
③认购量与日期正相关；
④10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅． 则上述判断正确的个数为（ ） A．0B．1C．2D．3 4．[2019乌鲁木齐一模]双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A．B．C．D． 5．[2019浏阳一中]设，都是不等于1的正数，则“”是“”成立的（） A．充要条件B．充分不必要条件 C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件 6．[2019桂林联考]已知等比数列的前项和，则（） A．B．3C．6D．9 7．[2019福建毕业]执行如图所示的程序框图，则输出的的值等于（ ） A．3B．C．21D． 8．[2019鹰潭期末]如图所示，过抛物线的焦点的直线，交抛物线于点，． 交其准线于点，若，且，则此抛物线的方程为（） A．B．C．D． 9．[2019南昌一模]函数的图像大致为（ ） A．B． C．D． 10．[2019大连一模]已知的内角，，所对边分别为，，，且满足，则（） A．B．C．D． 11．[2019南昌一模]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A．B．C．D． 12．[2019龙岩一中]已知函数，若函数恰有两个零点， 则实数的取值范围为（ ） A．B．C．D． 第Ⅱ卷 二、填空题本大题共4小题，每小题5分． 13．[2019临川一中]设向量，满足，，且，则向量在向量方向上的 投影为______． 14．[2019榆林一中]设，满足约束条件，则的最大值为____． 15．[2019湘潭一模]已知球的半径为4，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共 弦长为，若球心到这两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为____． 16．[2019七宝中学]在内使成立的的取值范围是______． 三、解答题本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019新乡期末]已知数列满足，． （1）证明数列是等比数列；
（2）设，求数列的前项和． 18．（12分）[2019南昌一模]市面上有某品牌型和型两种节能灯，假定型节能灯使用寿命都超过5000小时，经销商对型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图 某商家因原店面需要重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年．新店面需安装该品牌节能灯5支（同种型号）即可正常营业．经了解，型20瓦和型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装．已知型和型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当地商业电价为元/千瓦时．假定该店面一年周转期的照明时间为3600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯管更换．（用频率估计概率） （1）根据频率直方图估算型节能灯的平均使用寿命；
（2）根据统计知识知，若一支灯管一年内需要更换的概率为，那么支灯管估计需要更换支． 若该商家新店面全部安装了型节能灯，试估计一年内需更换的支数；
（3）若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由． 19．（12分）[2019菏泽一模]如图，在四棱柱中，底面，，四边形是边长为4的菱形，，，分别是线段的两个三等分点． （1）求证平面；
（2）求四棱柱的表面积． 20．（12分）[2019临川一中]已知椭圆，离心率，是椭圆的左顶点，是椭圆的左焦点，，直线． （1）求椭圆方程；
（2）直线过点与椭圆交于、两点，直线、分别与直线交于、两点，试问以为直径的圆是否过定点，如果是，请求出定点坐标；
如果不是，请说明理由． 21．（12分）[2019太原期末]已知函数． （1）当时，求函数的单调区间；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4坐标系与参数方程】 [2019大连一模]在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数且），曲线的参数方程为（为参数，且），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为． （1）求与的交点到极点的距离；
（2）设与交于点，与交于点，当在上变化时，求的最大值． 23．（10分）【选修4-5不等式选讲】 [2019东北三校]已知函数，． （1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；
（2）设实数为（1）中的最大值，若实数，，满足，求 的最小值． 3 2018-2019学年下学期高三4月月考卷 文科数学答案 一、选择题． 1．【答案】A 【解析】由题意；
．故选A． 2．【答案】B 【解析】，故选B． 3．【答案】B 【解析】7天假期的楼房认购量为91、100、105、107、112、223、276；
成交量为8、13、16、26、32、38、166． 对于①，日成交量的中位数是26，故错；
对于②，日平均成交量为，有1天日成交量超过日平均成交量，故错；
对于③，根据图形可得认购量与日期不是正相关，故错；
对于④，10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅，正确． 故选B． 4．【答案】D 【解析】根据题意，双曲线的方程为， 其焦点坐标为，其渐近线方程为，即， 则其焦点到渐近线的距离，故选D． 5．【答案】D 【解析】由，可得；
由，得． 所以当“”成立时，“”不成立；
反之，当“”成立时，“”也不成立， 所以“”是“”成立的既不充分也不必要条件．故选D． 6．【答案】D 【解析】因为，所以时，， 两式相减，可得，， ，， 因为是等比数列，所以， 所以，，，， 所以，故选D． 7．【答案】B 【解析】由题意得，程序执行循环共六次， 依次是，；
，；
，；
，；
，；
，， 故输出的值等于，故选B． 8．【答案】A 【解析】如图，过作垂直于抛物线的准线，垂足为， 过作垂直于抛物线的准线，垂足为，为准线与轴的交点， 由抛物线的定义，，， 因为，所以，所以， ，， 所以，即， 所以抛物线的方程为，故选A． 9．【答案】A 【解析】， 即，故为奇函数，排除C，D选项；
，排除B选项，故选A． 10．【答案】A 【解析】，，由， 根据正弦定理可得， 所以，那么，故选A． 11．【答案】D 【解析】由三视图可知该几何体是由一个正三棱柱（其高为6，底面三角形的底边长为4，高为）截去一个同底面的三棱锥（其高为3）所得， 则该几何体的体积为，故选D． 12．【答案】C 【解析】作出函数的图象， 函数恰有两个零点，即为的图象和直线有两个交点， 当直线与相切，可得有两个相等实根， 可得，即， 由图象可得当时，的图象和直线有两个交点， 故选C． 二、填空题． 13．【答案】 【解析】由于，所以，即，， 所以向量在向量方向上的投影为． 14．【答案】5 【解析】作出，满足约束条件，所示的平面区域，如图 作直线，然后把直线向可行域平移，结合图形可知，平移到点时最大， 由，此时，故答案为5． 15．【答案】6 【解析】设两圆的圆心为，球心为，公共弦为，中点为， 因为球心到这两个平面的距离相等，则为正方形，两圆半径相等， 设两圆半径为，，， 又，，，．这两个圆的半径之和为6． 16．【答案】 【解析】由题意，设，， ∴， 又恒成立，∴，即， 即时，， ∴内使成立的的取值范围是． 故答案为． 三、解答题． 17．【答案】（1）详见解析；
（2）． 【解析】（1）证明数列满足，， 可得， 即有数列是首项为2，公比为3的等比数列． （2）由（1）可得， 即有， 数列的前项和． 18．【答案】（1）3440小时；
（2）4；
（3）应选择型节能灯． 【解析】（1）由图可知，各组中值依次为3100，3300，3500，3700，对应的频率依次为，，，，故型节能灯的平均使用寿命为小时． （2）由图可知，使用寿命不超过3600小时的频率为，将频率视为概率，每支灯管需要更换的概率为，故估计一年内5支型节能灯需更换的支数为． （3）若选择型节能灯，一年共需花费元；
若选择型节能灯，一年共需花费元． 因为，所以该商家应选择型节能灯． 19．【答案】（1）见解析；
（2）． 【解析】（1）连接与交于点，则为的中点，连接， 因为，分别是线段的两个三等分点，所以是线段的中点， 又因为是线段的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）因为四边形是边长为4的菱形，，且底面， 所以侧面为四个全等的矩形，所以四个侧面的面积为． 因为平面，连接，，所以四边形是矩形， 又，所以四边形是正方形， 所以， 所以， 所以， 所以四棱柱的表面积为． 20．【答案】（1）；
（2）以为直径的圆能过两定点、． 【解析】（1），得，所求椭圆方程． （2）当直线斜率存在时，设直线，、， 直线， 令，得，同理， 以为直径的圆， 整理得① ，得， ，② 将②代入①整理得，令，得或． 当直线斜率不存在时，、、、， 以为直径的圆，也过点、两点， 综上以为直径的圆能过两定点、． 21．【答案】（1）函数的单调增区间为，单调减区间为；
（2）． 【解析】（1）由，则． 由，得；
由，得， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为． （2）由，则． ①当时，对，有， 所以函数在区间上单调递增， 又，即对恒成立． ②当时，由（1），单调递增区间为，单调递减区间为， 若对任意恒成立，只需， 令，， 即在区间上单调递减， 又，故在上恒成立， 故当时，满足的不存在． 综上所述，的取值范围是． 22．【答案】（1）；
（2）． 【解析】（1）联立曲线，的极坐标方程 得，解得，即交点到极点的距离为． （2）曲线的极坐标方程为， 曲线的极坐标方程为联立得， 即， 曲线与曲线的极坐标方程联立得， 即， 所以，其中的终边经过点， 当，，即时，取得最大值为． 23．【答案】（1）；
（2）． 【解析】（1）因为函数恒成立， 解得． （2）由第一问可知，即， 由柯西不等式可得， 化简， 即，当且仅当时取等号，故最小值为．