赵树嫄微积分第四版第五章,不定积分PPT演示课件

1 第五章不定积分 2 例 第一节不定积分的概念 一 原函数与不定积分的概念 定义 不定积分又称反导数 它是求导运算的逆运算 本章所讲的内容就是寻求函数的原函数 3 原函数存在定理 简言之 连续函数一定有原函数 问题 1 原函数是否存在 2 是否唯一 因此初等函数在其定义域内都有原函数 但原函数不一定是初等函数 4 唯一性 说明 5 二 不定积分的概念 记为 定义 6 例1求 解 解 例2求 7 例3求 解 8 解 例3求 合写成 9 三 不定积分的几何意义 设F x 是f x 的一个原函数 则方程y F x 的图形是直角坐标系Oxy中的一条曲线 称为f x 的一条积分曲线 将这条曲线沿y轴向上或向下移动长度为 C 的距离 就可以得到f x 的无穷 多条积分曲线 它们构成一个曲线族 称为f x 的积分曲线族 其方程为 或 10 它们的特点是 在横坐标相同的点处 各积分曲线的切线有相同的斜率 都是f x 即各切线平行 11 解 例4设曲线通过点 1 2 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍 求此曲线方程 设曲线方程为 根据题意知 12 第二节不定积分的性质 或 性质1求不定积分与求导或微分互为逆运算 或 性质2 其中a为非零常数 证 由定义可知 13 此性质可推广到有限多个函数之和差的情形 性质3 证 综合性质2和性质3 可得 14 第三节基本积分公式 k是常数 15 16 直接积分法 分项积分法 例 例 例 17 例 18 例 19 例 20 例 例 例 21 三角恒等变形 例 例 22 例 例 例 23 训练 求下列不定积分 24 问题 第四节换元积分法 一 第一类换元积分法 凑微分法 25 一般地 凑微分法步骤如下 26 常用凑微分公式 等等 27 例 例 例 28 练习 29 例 例 例 30 例 例 31 例 另外 32 例 类似地 或 33 例 34 类似地 例 35 基本积分公式 36 例 解法1 解法2 例 37 例 38 例 39 例 40 例 41 或解 例 42 例 例 43 例 积化和差 44 训练 求下列不定积分 45 三 第二类换元积分法 回代 得 46 称为第二换元积分法 注意 不要忘了回代 回代 47 例 解 48 解 例 49 解 令 例 50 训练 解 51 例 解 失败 52 例 解 53 例 解 54 例 解 55 基本积分公式 比较 56 说明 以上几例所使用的均为三角代换 目的是化掉根式 一般规律如下 当被积函数中含有 可令 可令 可令 但是否一定采用三角代换并不是绝对的 有时可灵活采用别的方法 57 训练 求下列不定积分 58 例 解 59 例 解 60 凑微分 分部积分公式 问题 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则 第五节分部积分法 分部积分的过程 61 例 积分更难进行 62 例 63 例 64 例 65 训练 66 训练 求下列不定积分 67 例 分部积分法可多次使用 68 训练 求下列不定积分 69 例 循环法 70 解方程组得 或解 例 71 分部积分法与换元法结合 例 解 72 训练 求下列不定积分 73 解 例 因为 所以 74 例 解 由题意 75 第六节综合杂例 例 计算下列不定积分 76 解 例 77 例 78 例 79 例 80 例 81 例 82 或解 83 例 84 例 85 例 86 例 解 87 例 88 例 89 有理函数的积分 假定分子与分母之间没有公因式 既约分式 有理函数是真分式 有理函数是假分式 利用多项式除法 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和 90 例 要点 将真分式化为部分分式之和 以下只考虑真分式的积分 91 真分式的分解 1 分母中若有因式 则分解后有 真分式化为部分分式之和的一般规律 2 分母中若有因式 则分解后有 92 93 真分式化为部分分式之和的待定系数法 例1 94 代入特殊值来确定系数 例2 95 例3 96 例4 97 真分式可分为以下四种类型的分式之和 这四类分式均可积分 且原函数为初等函数 因此 有理函数的原函数都是初等函数 98 部分分式的积分 例5 例6 99 例7 100 例8 101 例9 102 例10 103 例11 灵活运用其他方法 例12 104 END END