普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟二 理科数学 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2.（2020桂林市模拟）复数，，是虚数单位.若，则（ ） A． B． C． D． 3.（2020福建质检）某公司为了增加其商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用与销售利润的统计数据如下表 广告费用（万元） 2 3 5 6 销售利润（万元） 5 7 9 11 由表中数据，得线性回归方程 ，，则下列结论错误的是（ ） A． B． C．直线过点 D．直线过点 4.已知数列为等差数列，，，则（ ） A． B． C. D． 5.（2020沈阳市质检）已知函数则（ ） A． B． C. D． 6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A． B． C. D． 7.（2020兰州市实战考试）已知直线与圆相交于，，且为等腰直角三角形，则实数的值为（ ） A．或 B． C.或 D． 8.按如下的程序框图，若输出结果为，则判断框应补充的条件为（ ） A． B． C. D． 9.已知三棱锥，在底面中，，，，平面，，则此三棱锥的外接球的体积为（ ） A． B． C. D． 10.（2020昆明市统测）过点的直线与轴的正半轴交于点，与直线交于点，且点在第一象限，为坐标原点，设，若，则函数的图象大致为（ ） A． B． C. D． 11.（2020广州市模拟）已知双曲线的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的倍，则其渐近线方程为（ ） A． B． C. D． 12.（2020沈阳市一监）已知偶函数的导函数为，且满足，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ） A． B． C. D． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.（2020贵阳市监测）已知向量，，若，则 ． 14.如果实数，满足条件则的最小值为 ． 15.（2020德州市模拟）展开式中的系数为 ． 16.已知数列的前项和为，且满足，，则 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求的值；
（2）若角是钝角，且，求的取值范围. 18. 某人经营一个抽奖游戏，顾客花费元钱可购买一次游戏机会，每次游戏中，顾客从装有个黑球，个红球，个白球的不透明袋子中依次不放回地摸出个球除颜色外其他都相同，根据摸出的球的颜色情况进行兑奖.顾客获得一等奖、二等奖、三等奖、四等奖时分别可领取奖金元，元、元、元．若经营者将顾客摸出的个球的颜色情况分成以下类别个黑球，个红球；
个红球；
恰有个白球；
恰有个白球；
个白球，且经营者计划将五种类别按照发生机会从小到大的顺序分别对应中一等奖、中二等奖、中三等奖、中四等奖、不中奖五个层次. （1）请写出一至四等奖分别对应的类别（写出字母即可）；
（2）若经营者不打算在这个游戏的经营中亏本，求的最大值；
（3）若，当顾客摸出的第一个球是红球时，求他领取的奖金的平均值. 19. （2020长春市二模）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，点，分别为和中点. （1）求证直线平面；
（2）求与平面所成角的正弦值. 20. （2020海口市调研）设直线与椭圆相交于，两个不同的点，与轴相交于点，为坐标原点. （1）证明；
（2）若，求的面积取得最大值时椭圆的方程. 21. （2020广西质检）设函数，且为的极值点. （1）若为的极大值点，求的单调区间（用表示）；
（2）若恰有两解，求实数的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为. （1）求曲线和直线在该直角坐标系下的普通方程；
（2）动点在曲线上，动点在直线上，定点的坐标为，求的最小值. 23.选修4-5不等式选讲 设且. （1）求证；
（2）求证. 试卷答案 一、选择题 1-5BDDAB 6-10BCBAB 11、12CD 二、填空题 13. 14. 15. 16. 三、解答题 17.解析（1）∵， ∴， 在中，由正弦定理有， ， 即， ∵， ∴，∴. （2）由余弦定理 ∴，① ∵， ∴， ∴，② 由①②得的范围是. 18.解析（1）， ， ， ， ， ∵. ∴中一至四等奖分别对应的类别是，，，. （2）设顾客进行一次游戏经营者可盈利元，则 -8 -3 1 2 ∴， ∴，即的最大值为元. （3）此时中一等奖的概率；
中二等奖的概率；
中三等奖的概率，中四等奖的概率， ∴元， 即此时顾客领取的奖金的平均值为元. 19.解析（1）证明作交于. ∵点为中点， ∴. ∵点为中点， ∴， 又， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴直线平面. （2）已知，∴， 如图，建立空间直角坐标系， 则，，，，. 所以，，. 设平面的一个法向量为， ∵ 则 解得， 所以平面的法向量为. ∵， ∴设向量和的夹角为， ∴， ∴与平面所成角的正弦值为. 20.解析（1）依题意，直线显然不平行于坐标轴，故可化为. 将代入，消去， 得，① 由直线与椭圆相交于两个不同的点， ，整理得. （2）设，.由①，得， 因为，得，代入上式，得. 于是，的面积， 其中，上式取等号的条件是，即. 由，可得. 将，及， 这两组值分别代入①，均可解出. 所以，的面积取得最大值时椭圆的方程是 . 21.解析，又， 则，所以且. （1）因为为的极大值点，所以， 当时，；
当时，；
当时，， 所以的单调递增区间为，；
单调递减区间为. （2）①若，则在上单调递减，在上单调递增， 恰有两解，则，则， 所以；
②若，则，， 因为，则， ，从而只有一解；
③若，则， ，则只有一解. 综上，使恰有两解的的取值范围为. 22.解析（1）由曲线的参数方程可得， ， 所以曲线的普通方程为. 由直线的极坐标方程， 可得，即. （2）设点关于直线的对称点为， 则解得 由（1）知，曲线为圆，圆心坐标为， 故. 当，，，四点共线，且在，之间时，等号成立， 所以的最小值为. 23.证明（1）因为， 所以. （2）因为，，， 所以 .