七级数学下册,6.2,频率的稳定性深解析教材知识详析拉分典例探究误区警醒知能提升训练探究创新迷你数学世界pdf,新北师大.pdf

频率的稳定性 学 习 目 标 导 航 能根据频率的特点确定一个事件的频率 能利用频率的稳定性估计一个事件的概率 教 材 知 识 详 析 要点 估计一个事件的频率 如果一组数据共有n个 而其中的某一类数据出现了m次 那么m就叫做该 类数据在该组数据中出现的频数 在n次重复试验中 不确定事件A发生了m次 则比值m n 称为事件A发生的 频率 当试验次数很大时 频率具有稳定性 常在一个常数附近震荡 例 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑 白两种颜色的球共 个 某学习小组做摸球试验 将球搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色 再把它 放回袋中 不断重复 下表是活动进行中的一组统计数据 摸球的次数n 摸到白球的 次数m 摸到白球 的频率m n 请估计 当n很大时 摸到白球的频率将会接近 假如你 去摸 一次 你摸 到白 球 的机 会是 摸 到 黑 球 的 机 会 是 试估算口袋中黑 白两种颜色的球各有多少个 解决了上面的问题 小明同学猛然顿悟 过去一个悬而未决的问题有办法 了 这个问题是 在一个不透明的口袋里装有若干个白球 在不允许将球倒出来数 的情况下 如何估计白球的个数 可以借助其他工具及用品 请你应用统计与概 率的思想和方法解决这个问题 写出解决这个问题的主要步骤及估算方法 精析 观察统计表 联系稳定频率与机会的关系 注意机会的计算公式 解答 从频率试验表中可以看出 当摸球次数大于 时 摸到白球的频率 稳定在 左右 这可以作为平稳的频率 因此 可以估计 当n很大时 摸到白球 的频率将会接近 因为稳定的频率接近于概率 所以摸到白球的概率是 又摸到白球的 概率与摸到黑球的概率之和等于 所以摸到黑球的概率是 由 得 白 球的 个数 为 个 黑 球的 个 数为 个 设白球的个数为x 再向袋中放入n个黑球 然后每次从袋中摸出一球 记 下颜色后并放回 重复上述动作 经过多次摸球试验后 设摸球的总次数为M 摸到 白球的次数为N 则有 x x n N M 故x n N M N 例 某乒乓球生产厂 从最近生产的一大批乒乓球中 抽取 批进行质量 检测 结果如下 抽取球数n 优等品数m 优等品 的频率 从上表中你能得出什么结论 精析 从 表面上看逐渐增大 但仔细分析不难发现 前几组优等 品数相差不大但频率相差大 而后几组优等品数相差较大但频率相差小 而且后几 组在 附近震荡 可见 是一个稳定常数 解答 该厂优等品的频率为 意即乒乓球优等品达 随着抽取球数n的增大 频率具有稳定性 常在一个常数附近震荡 要点 用频率估计概率 一般地 表示一个随机事件A发生可能性 机会 大小的数 叫做这个事件发生 的概率 记作P A 在大量重复试验后 一个事件发生的频率都具有稳定性 我们用随机事件发生 的频率逐渐稳定到的常数来刻画它发生的可能性的大小 这样 求一个随机事件的 基本方法可以是 通过大量的重复试验 用这个事件发生的频率作为它的概率的估 计值 必然事件发生的概率为 不可能事件发生的概率为 随机事件A发生的概 率 P A 例 研究 掷一个图钉 钉尖朝上 的概率 两个小组用同一个图钉做试验 进行比较 他们的统计数据如下 掷图钉的次数 针尖朝上 的次数 第一小组 第二小组 请你估计第一小组和第二小组所得的概率分别是多少 你认为哪一个小组的结果更准确 为什么 精析 根据题意 用频数除以试验次数 得到频率 由于试验次数较多 可以 用频率估计概率 根据概率的计算方法与意义 结合题意 可得答案 解答 根据题意 次数越多 就越精确 选取试验次数最多的进行计算可得 第一小组所得的概率是 第二小组所得的概率是 不知道哪一个更准确 因为试验数据可能有误差 不能准确说明偏向 考查利用频率估计概率 大量反复试验下频率稳定值即概率 用到的 知识点为 概率 所求情况数与总情况数之比 例 某活动小组为了估计装有 个白球和若干个红球 每个球除颜色外都 相同 的袋中红球接近多少个 在不将袋中球倒出来的情况下 分小组进行摸球试 验 两人一组 共 组进行摸球试验 其中一位学生摸球 另一位学生记录所摸球 的颜色 并将球放回袋中摇匀 每一组做 次试验 汇兑起来后 摸到红球次数为 次 估计从袋中任意摸出一个球 恰好是红球的概率是多少 请你估计袋中红球接近多少个 精析 求出总次数 根据红球出现的频数 求出红球出现的频率 即可用来估计 红球出现的概率 解答 摸到红球的频率为 因为试验次数很大 大量试验时 频率接近于理论概率 所以估计从袋中任意摸出一个球 恰好是红球的概率是 设袋中红球有x个 根据题意 得 x x 解得x 经检验 x 是原方程的解 估计袋中红球接近 个 考查利用频率估计概率 大量反复试验下频率稳定值即概率 用到的 知识点为 概率 所求情况数与总情况数之比 拉 分 典 例 探 究 综合应用 例 要点 已知全班同学他们有的步行 有的骑车 还有的乘车上学 根 据已知信息完成下表 上学方式步行骑车乘车 正 字法记录正正正 频数 频率 精析 一般地 如果一组数据共有n个 而其中的某一类数据出现了m次 那么 m就叫做该类数据在该组数据中出现的频数 而m n 则称为该类数据在该组数据中 出现的频率 解答 因为步行有 人 骑车有 人 共 人 占总数的 所以总数有 人 步行的频数是 频率是 骑车的频率是 乘车 的频数是 表格略 归纳 演绎 步行的频率 骑车的频率 乘车的频率 探究创新 例 要点 不透明的袋中有 个大小相同的小球 其中 个为白色 个 为红色 每次从袋中摸 个球 然后放回搅匀再摸 在摸球试验中得到下列表中部 分数据 摸球次数 出现红色 球的频数 出现红色 球的频率 请将数据表补充完整 画出折线图 图 观察图象 你有什么发现 你能估计出这个事件的概率吗 若能 请估计摸出红色球的概率 精析 先根据图表进行计算 求出频率 再估计概率即可 解答 故顺次填 图 随着试验次数的增大 出现红色小球的频率逐渐趋于稳定 能 摸出红色球的概率为 技法 规律 画出图象 就可以轻松的观察出红色球出现的概率 大量试验的 频率接近于概率 误 区 警 醒 误区 试验次数不多 判断失误 例 小明在做抛掷一枚硬币的试验中获得如下数据 抛掷次数 出现正面的频数 出现正面的频率 他观察了统计表 得出如下结论 抛掷硬币前 结果无法预测 出现正面的可能性较小 随着抛掷次数的增大 出现正面的频率不稳定 请问 他的哪些结论是合理的 为什么 错解 都是合理的 因为从试验中可以看出正面最大频率在 所以 正面出现的可能性较小 可见正面出现的频率也就不稳定 正解 合理 每次试验的结果是不确定的 无法预测结果 不合理 试验次数不够多 不合理 当试验次数足够多后 出现正面的频率会逐渐稳定在 左右 警醒 没有理解反复试验观察不确定现象的意义 我们可以用大量试验来稳定 不确定现象出现的频率 误区 在反复试验中 试验条件改变 例 小华在做抛啤酒瓶盖的试验 但抛到第 次时瓶盖滚丢了 接着他用 一个汽水瓶盖继续做试验 又抛了 次 于是 由试验结果他得出一个关于频率 稳定性的结论 你同意他的结论吗 错解 啤酒瓶有正 反面 汽水瓶盖也有正 反面 所以这个结论是真实可靠的 正解 这个结论不正确 应重新寻一个新啤酒瓶盖做该试验 警醒 在大量重复试验下 随机事件A发生的频率会稳定到某个常数P附近 在此强调每次试验其条件应相同 误区 用频率估计概率不准确 例 有 张卡片 分别写有 然后把卡片放在一个不透明的 布袋中搅匀 再摸 依次重复 次 所得数据如下表 试验次数 出现 的倍 数的次数 出现 的倍 数的频率 完成上表 出现 的倍数的机会是多少 错解 频数 频率 总数三者之间关系弄不清 计算不准确导致填表失误 或填 正解 警醒 频数 总数 频率 有些同学看见最后实数次数 次 或 次 以 为足够多了 且 或 再根据四舍五入原则得出 或 其实应看这些数值在什么附近波动 分析不难发现在 附近波动 知 能 提 升 训 练 夯基固本 要点 W e l c o m e t oS e n i o rH i g hS c h o o l 欢迎进入高中 在这段句子的所有 英文字母中 字母o出现的频率是 要点 在 对 个 数据 进行 整 理的 频率 分布 表 中 各组 的 频数 之和 等 于 各组的频率之和等于 要点 在一个样本中 个数据分别落在 个组内 第一 二 三 五组的数据 个数分别为 则第四组的频数为 频率为 要点 对某工厂生产的大批同类产品进行合格率检查 分别抽取 件 件 件 件 件 件 件 件 检查结果如下表所示 抽取的件 数n 合格件 数m 合格频率 m n 求该厂产品的合格率 要点 某少儿活动中心在 六一 活动中 举行了一次转盘摇奖活动 是一个可 以自由转动的转盘 如图 当转动停止时 指针落在哪一个区域就可以获得相应 的奖品 落在分界线上时重新摇奖 下表是活动进行中统计的有关数据 第 题 转动转盘的次数n 落在 铅笔 区 域中的次数m 落在 铅笔 区域 中的频率m n 计算并完成表格 当转动转盘的次数n很大时 概率将会接近多少 综合应用 要点 某工厂新生产一种节能灯泡 设计使用寿命为 h 现从第一批 的大量产品中抽取若干个 在同等条件下进行使用寿命检验 有关数据如下 灯泡个数 使用寿命 h的灯泡个数 合格率 使用寿命 h的灯泡为合格产品 计算各批灯泡的合格频率 根据频率的稳定性估计灯泡的合格概率 精确到 要点 某水果公司以 元 千克的成本进了 k g柑橘 如果公司希 望这些柑橘能够获得利润 元 补全表中空缺并完成表后的填空 柑橘损坏率统计表 柑橘总质量n 千克 损坏柑橘总 质量m 千克 柑橘损坏的 频率m n 续 表 从表中发现 柑橘损坏的频率在 左右摆动 并且随统计数据的 增加 这种规律愈加明显 所以估计柑橘损坏的概率为 在出售柑橘 以去掉损坏的柑橘 时 每千克大约定价为多少元合适 要点 某射手在同一条件下进行射击 结果如下表所示 射击次数 n 击中靶心的 次数 m 击中靶心 的频率 m n 计算表中击中靶心的各个频率 这个射手射击一次 击中靶心的概率约是多少 要点 表中是一个机器人做 次 抛硬币 游戏时记录下的出现正面的频 数和频率 抛掷结果 次 次 次 次 次 次 次 出现正面 的频数 出现正面 的频率 由这张频数和频率表可知 机器人抛掷完 次时 得到 次正面 正面出现的 频率是 那么 也就是说机器人抛掷完 次时 得到 次反面 反 面出现的频率是 由这张频数和频率表可知 机器人抛掷完 次时 得到 次正面 正面出现的频率是 那么 也就是说机器人抛掷完 次时 得到 次反面 反面出现的频率是 探究创新 要点 一次数学竞赛 某校有 名学生参加 抽出 名学生的数学成绩 如下 填写下面的频率分布表 分组频数累计频数频率 合计 根据上表估计 全校 名学生中 成绩在 分以上的人数约为多少 占 多大比例 要点 对下列说法谈谈你的看法 某彩票的中奖机会是 如果我买 张彩票一定有 张会中奖 我和同学玩飞行棋游戏 我掷了 次骰子还没掷得 点 说明我掷得 点 的机会比其他同学掷得 点 的机会小 我们知道 抛掷一枚普通硬币得到正面和反面的机会各为 也就是说 虽然没人能保证抛掷 次会得到 次正面和 次反面 但是 我敢 保证得到正面的次数会非常接近得到反面的次数 要点 为了估计某鱼塘中的鱼数 养鱼者首先从鱼塘中捕获 条鱼 在每 一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘 经过一段时间后 再从鱼塘中打捞 出若干条 分别数出标有记号的条数 进行重复试验 试验数据如下表 每次打捞 鱼数 n 每次打捞鱼中带 记号鱼数 m m n 根据表中的数据 频率m n 的值稳定在哪个常数附近 结果用小数表示 精 确到 请你估算出这个鱼塘中鱼数有多少条 答案全析全解 从上表 的 数据 可看 到 当 抽 取 件 数 即重复试验次数 n越大 一件产品 合格 事件发生的频率m n 就越接近常 数 所以 一 件 产 品 合 格 的 概 率 约 为 我们通常说该厂产品的合格率 为 填写下表 转动转盘的 次数n 落在 铅笔 区域中的次