江苏省泰州中学2020届高三数学3月月考试题（含解析） 样本数据 的方差，其中，样本数据的标准；
球的体积，其中是球的半径. 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上.） 1.已知集合，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】 利用交集定义直接求解即可． 【详解】∵集合，，则 故答案为 【点睛】本题考查交集的求法等基础知识，属于基础题． 2.设为虚数单位，，则的值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】 把已知等式变形得，再由，结合复数模的计算公式求解即可． 【详解】由，得，即 本题正确结果 【点睛】本题考查复数代数形式乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题． 3.已知一组数据4，3，5，7，1，则该组数据的标准差__________． 【答案】 【解析】 【分析】 先求出这组数据4，3，5，7，1的平均数，进而由标准差的公式计算即可． 【详解】这组数据4，3，5，7，1的平均数为（43571）＝4， 故这组数据的标准差为， 故答案为2 【点睛】本题考查了数据的平均数，标准差，熟记标准差的公式是关键，属于基础题． 4.执行如图所示的伪代码，最后输出的的值__________． 【答案】 【解析】 【分析】 模拟执行程序代码，依次写出每次循环得到的i，的值，当i＝3时，不满足条件退出循环，输出的值即可． 【详解】模拟执行程序代码，可得i＝1，＝2 满足条件i ，执行循环体，＝2，i＝2 满足条件i，执行循环体，＝2，i＝3 不满足条件i，退出循环，输出的值为4． 故答案为4． 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i，的值是解题的关键，属于基础题． 5.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，则取到的2个数的和大于5的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 先求出基本事件总数，再用列举法列出2个数和大于5包含的基本事件，从而由古典概型的公式计算即可． 【详解】在1，2，3，4，5中任取2个不同的数，基本事件总数n＝＝10，其中和大于5包含的基本事件有（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共有m＝6个，由古典概型的公式得 故答案为． 【点睛】本题考查古典概型的概率的求法，注意列举法的合理运用，属于基础题. 6.已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】 由，得tanα＝-2，由二倍角的正切公式化简后，把tanα的值代入即可． 【详解】∵sina2cosa0，得，即tanα＝-2，∴tan2α＝ ． 故答案为 【点睛】本题考查了二倍角的正切公式，以及同角三角函数间的基本关系，属于基础题． 7.在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为2，则实数的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，得双曲线的焦点在x轴上，由双曲线的离心率公式可得e2＝＝4，解得m的值即可． 【详解】双曲线的方程为，分析可得双曲线的焦点在x轴上，其离心率为2，则有e2＝4，解得m＝；
故答案为． 【点睛】本题考查由双曲线的离心率求双曲线的方程，注意先确定双曲线焦点的位置，属于基础题. 8.魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体“牟合方盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π4.若正方体的棱长为2.则“牟合方盖”的体积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 由题意先求出正方体内切球的体积，再由已知体积比求得“牟合方盖”的体积即可． 【详解】正方体的棱长为2，则其内切球的半径r＝1，∴正方体的内切球的体积， 又由已知 ，∴ ． 故答案为． 【点睛】本题考查正方体内切球的体积，理解题意是关键，属于基础题． 9.已知，，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】 由，即，且，所以 ，又因为 ，得，，计算即可得答案. 【详解】因为，即，且，所以是以为首项，以为公差的等差数列，所以 .又因为 ，所以 ， . 即 . 故答案为 【点睛】本题考查了判断一个数列是不是等差数列的方法，也考查了等差数列通项公式的应用，属于中档题. 10.在平面直角坐标系xOy中，若直线axy﹣2＝0与圆心为C的圆（x﹣1）2（y﹣a）2＝16相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，则实数a的值是__ 【答案】-1 【解析】 【分析】 由题意可得△ABC是等腰直角三角形，即圆心C（1，a）到直线axy﹣2＝0的距离等于rsin45，再由点到直线的距离公式求得a的值． 【详解】由题意可得△ABC是等腰直角三角形，∴圆心C（1，a）到直线axy﹣2＝0的距离等于rsin45＝ ＝ ， 再由圆心C到直线axy﹣2＝0的距离公式计算，得 ，∴a＝﹣1. 故答案为﹣1． 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，直角三角形中的边角关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题． 11.如图，已知半圆的直径，是等边三角形，若点是边（包含端点）上的动点，点在弧上，且满足，则的最小值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】 将向量转化为，代入，将所求向量的数量积转化为 ,表示在上的投影，由此可求得最小值. 【详解】 ，由数量积的几何意义可知，当与重合时，在上的投影最短， 此时，,故填2. 【点睛】本小题主要考查向量线性运算，考查向量的数量积运算，以及几何图形中向量问题的求解.属于中档题. 12.已知集合，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是____________ 【答案】1或 【解析】 【分析】 根据所处的不同范围，得到和时，所处的范围；
再利用集合的上下限，得到与的等量关系，从而构造出方程，求得的值. 【详解】，则只需考虑下列三种情况 ①当时， 又 且 可得 ②当即时，与①构造方程相同，即，不合题意，舍去 ③当即时 可得且 综上所述或 【点睛】本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的不同取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程；
难点在于能够准确地对的范围进行分类，对于学生的分析和归纳能力有较高的要求，属于难题. 13.在锐角△ABC中，C＝，则tanAtanB的最小值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】 根据tanC＝﹣tan（AB），利用正切的两角和公式求得tanAtanB与tanAtanB的关系式，利用基本不等式获得关于tanAtanB的一元二次不等式求解即可． 【详解】∵△ABC为锐角三角形，∴tanA＞0，tanB＞0，且，所以 tanC＝﹣tan（AB）＝ ＝1， ∴tanAtanB＝﹣1tanAtanB，∵tanAtanB≤ （tanAtanB取等号），∴tanAtanB≤﹣1， 求得tanAtanB≥，或tanAtanB≤（舍去）， 故答案为 ． 【点睛】本题考查了两角和与差的正切函数的应用，基本不等式的应用．解题的关键找到tanAtanB与tanAtanB的关系,属于中档题. 14.定义在R上的偶函数f（x），且对任意实数x都有f（x2）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x2，若在区间[﹣3，3]内，函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣3k有6个零点，则实数k的取值范围为__． 【答案】 【解析】 【分析】 由函数的奇偶性、周期性可作y＝f（x）的图象，又直线y＝k（x3）过定点（﹣3，0），数形结合计算可得解． 【详解】由定义在R上的偶函数f（x），且对任意实数x都有f（x2）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x2， 可得函数f（x）在区间[﹣3，3]的图象如图所示，在区间[﹣3，3]内，函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣3k有6个零点， 等价于y＝f（x）图象与直线y＝k（x3）在区间[﹣3，3]内有6个交点，又y＝k（x3）过定点（﹣3，0）， 观察图象可知实数k的取值范围为， 故答案为（0，] 【点睛】本题考查了由函数的奇偶性、周期性画图像的问题，及直线过定点，也考查了数形结合的思想方法，属于中档题． 二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知三棱锥中，，. （1）若平面分别与棱、、、相交于点、、、，且平面，求证. （2）求证；
【答案】（1）见解析；
（2）见解析. 【解析】 【分析】 （1）平面，且平面平面，由线面平行的性质定理得，同理，即可证明；
（2）由，，且 ，得平面，由（1）得，即可证明. 【详解】（1）平面，平面平面，平面，由线面平行的性质定理得；
平面平面，平面，由线面平行的性质定理得，所以成立. （2），.又平面，平面， ， 平面.又平面，，由（1）得，. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理和线面平行的性质定理，熟记定理的内容是关键，属于中档题. 16.在中，三个内角，，，所对的边依次为，，，且. （1）求的值；
（2）设，求的取值范围. 【答案】1 2 【解析】 【分析】 ⑴利用同角三角函数基本关系式可求，利用三角函数恒等变换的应用即可计算得解． ⑵由余弦定理，基本不等式可求的最大值，利用三角形两边之和大于第三边可求，即可得解的取值范围． 【详解】，又C为三角形内角， ， ，， 由余弦定理可得， ，可得，当且仅当时等号成立， 可得，可得，当且仅当时等号成立， ， 的取值范围为 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形两边之和大于第三边等知识的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 17.某避暑山庄拟对一个半径为1百米的圆形地块（如图）进行改造，拟在该地块上修建一个等腰梯形，其中，，圆心在梯形内部，设.当该游泳池的面积与周长之比最大时为“最佳游泳池”. （1）求梯形游泳池的面积关于的函数关系式，并指明定义域；
（2）求当该游泳池为“最佳游泳池”时值. 【答案】（1），；
（2）. 【解析】 【分析】 （1）分别取的中点，连接，易知，，，则，. （2），梯形的周长，设，，求导判断单调性，求其最大值即可. 【详解】（1）如图，分别取的中点，连接， 由平面几何得知，，三点共线，且，. 易知，， 且，得 则梯形的面积 （平方百米）， . （2）易知 由（1）可得梯形的周长（百米） 设， ，由得， 当时，y，单调递增，当时，y，单调递减 所以当，该游泳池的面积与周长之比最大. 即时、该游泳池为“最佳游泳池”. 【点睛】本题考查了函数解析式的求法和导数在函数最值中的应用，也考查了等腰梯形的性质，属于中档题． 18.设椭圆，点为其右焦点，过点的直线与椭圆相交于点，. （1）当点在椭圆上运动时，求线段的中点的轨迹方程；
（2）如图1，点的坐标为，若点是点关于轴的对称点，求证点，，共线；
（3）如图2，点是直线上的任意一点，设直线，，的斜率分别为，，，求证，，成等差数列. 【答案】（1）；
（2）见解析；
（3）见解析. 【解析】 分析】 （1）设出中点的坐标，利用点的坐标得到点的坐标