2-3 函数的奇偶性与周期性 1.2020北京西城区抽检下列各函数中， 是R上的偶函数 A．y＝x2－2x B．y＝2x C．y＝cos2x D．y＝ [答案] C [解析] A、B不是偶函数，D的定义域{x∈R|x≠1}不是R，故选C. 2．文设fx是定义在R上的奇函数，且当x0时，fx＝2x－3，则f－2的值等于 A．－1 B. C．1 D．－ [答案] A [解析] f2＝22－3＝1，又fx是奇函数， ∴f－2＝－f2＝－1，故选A. 理2020浙江杭州月考已知函数fx为定义在R上的奇函数，当x≥0时，fx＝2x＋2x＋mm为常数，则f－1的值为 A．－3 B．－1 C．1 D．3 [答案] A [解析] ∵函数fx是定义在R上的奇函数， ∴f0＝0，即f0＝20＋m＝0，解得m＝－1. ∴fx＝2x＋2x－1，f1＝21＋21－1＝3， f－1＝－f1＝－3. 3．文2020济南模拟函数fxx∈R是周期为3的奇函数，且f－1＝a，则f2020的值为 A．a B．－a C．0 D．2a [答案] B [解析] ∵fx周期为3， ∴f2020＝f6703＋1＝f1， ∵fx为奇函数，f－1＝a， ∴f1＝－a，故选B. 理2020兰州诊断、河北三校联考已知fx是定义在R上的偶函数，并满足fx＋2＝－，当1≤x≤2时，fx＝x－2，则f6.5＝ A．4.5 B．－4.5 C．0.5 D．－0.5 [答案] D [解析] ∵fx＋2＝－，∴fx＋4＝f[x＋2＋2]＝－＝fx，∴fx周期为4，∴f6.5＝f6.5－8＝f－1.5＝f1.5＝1.5－2＝－0.5. 4．文2020北京东城一模已知函数fx是定义在R上的偶函数，且当x0时，fx＝lnx＋1，则函数fx的图象大致为 [答案] C [解析] 函数fx＝lnx＋1的图象由fx＝lnx的图象向左平移1个单位得到，选取x0的部分，然后作关于y轴的对称图形即得． 理 2020北京西城模拟定义在R上的偶函数fx的部分图象如图所示，则在－2,0上，下列函数中与fx的单调性不同的是 A．y＝x2＋1 B．y＝|x|＋1 C．y＝ D．y＝ [答案] C [解析] ∵fx为偶函数，由图象知，fx在－2,0上为减函数，而y＝x3＋1在－∞，0上为增函数． 5．2020青岛模拟已知定义在R上的函数fx满足f3＝2－，且对任意的x都有fx＋3＝，则f2020的值为 A．－2－ B．－2＋ C．2－ D．－3－ [答案] A [解析] 由题意得fx＋6＝fx＋3＋3＝＝＝fx．∴函数fx的周期为6. f2020＝f3356＝f6，而f6＝f3＋3＝－＝－＝－2－. 6．文2020合肥模拟设fx是偶函数，且当x0时是单调函数，则满足f2x＝f的所有x之和为 A．－ B．－ C．－8 D．8 [答案] C [解析] ∵fx是偶函数，f2x＝f ∴f|2x|＝f|| 又∵fx在0，＋∞上为单调函数， ∴|2x|＝||， 即2x＝或2x＝－ 整理得2x2＋7x－1＝0或2x2＋9x＋1＝0 设方程2x2＋7x－1＝0的两根为x1，x2，方程2x2＋9x＋1＝0的两根为x3，x4. 则x1＋x2＋x3＋x4＝－＋－＝－8. 理已知fx是定义在－∞，＋∞上的偶函数，且在－∞，0]上是增函数，设a＝flog47，b＝f3，c＝f0.20.6，则a、b、c的大小关系是 A．clog2，0|0.20.6|. 又∵fx在－∞，0]上是增函数，且fx为偶函数， ∴fx在[0，＋∞上是减函数． ∴b0且a≠1是定义在－∞，＋∞上的奇函数． 1求a的值；
2求函数fx的值域；
3当x∈0,1]时，tfx≥2x－2恒成立，求实数t的取值范围． [解析] 1∵fx是定义在－∞，＋∞上的奇函数，即f－x＝－fx恒成立，∴f0＝0. 即1－＝0， 解得a＝2. 2∵y＝，∴2x＝， 由2x0知0， ∴－10，fx在[3，＋∞上为增函数， ∴a，即a＋在[3，＋∞上恒成立． ∵＋，∴a≥. 11.2020泰安模拟fx是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f2＝0，则方程fx＝0在区间0,6内解的个数至少是 A．1 B．4 C．3 D．2 [答案] B [解析] 由f2＝0，得f5＝0， ∴f－2＝0，f－5＝0. ∴f－2＝f－2＋3＝f1＝0， f－5＝f－5＋9＝f4＝0， 故fx＝0在区间0,6内的解至少有1,2,4,5四个． 12．2020开封调研已知fxx∈R为奇函数，f2＝1，fx＋2＝fx＋f2，则f3等于 A. B．1 C. D．2 [答案] C [分析] 为求f3先求f1，为求f1先在fx＋2＝fx＋f2中，令x＝－1，利用fx为奇函数，可解出f1． [解析] 令x＝－1得f1＝f－1＋f2＝f2－f1， ∴f1＝f2＝，∴f3＝f1＋f2＝. [点评] 解答此类题目，一般先看给出的值和待求值之间可以通过条件式怎样赋值才能产生联系，赋值时同时兼顾奇偶性或周期性的运用，请再练习下题 若奇函数fxx∈R满足f3＝1，fx＋3＝fx＋f3，则f等于 A．0 B．1 C. D．－ [答案] C [解析] 在fx＋3＝fx＋f3中取x＝－得，f＝f＋f3，∴f x是奇函数，且f3＝1， ∴f＝. 13．文2020山东淄博一模设奇函数fx的定义域为R，最小正周期T＝3，若f1≥1，f2＝，则a的取值范围是 A．a－1或a≥ B．a－1 C．－1a≤ D．a≤ [答案] C [解析] 函数fx为奇函数，则f－1＝－f1． 由f1＝－f－1≥1得，f－1≤－1；
函数的最小正周期T＝3， 则f－1＝f2，由≤－1解得，－1a≤. 理2020新方一模已知定义在R上的奇函数fx满足fx－4＝－fx，且在区间[0,2]上是增函数，则 A．f－25f11f80 B．f80f11f－25 C．f11f80f－25 D．f－25f80f11 [答案] D [解析] ∵fx－4＝－fx， ∴fx－8＝－fx－4＝fx， ∴fx＋8＝fx，∴fx周期为8.∴f80＝f0， 又∵fx为奇函数， ∴f－25＝f－24－1＝f－1， ∴f11＝f3＝－f3－4＝f1， 由条件知fx在[－2,2]上为增函数， ∴f－1f0f1，∴f－25f80f11． 14．文设fx是定义在R上的奇函数，且y＝fx的图象关于直线x＝对称，则f1＋f2＋f3＋f4＋f5＝________. [答案] 0 [解析] ∵fx的图象关于直线x＝对称， ∴f＝f，对任意x∈R都成立， ∴fx＝f1－x，又fx为奇函数， ∴fx＝－f－x＝－f1＋x ＝f－1－x＝f2＋x， ∴周期T＝2 ∴f0＝f2＝f4＝0 又f1与f0关于x＝对称 ∴f1＝0 ∴f3＝f5＝0 填0. 理若函数fx＝a为常数在定