课时作业51 证明、最值、范围、存在性问题 [基础达标] 1．[2018全国卷Ⅰ]设椭圆C＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为2,0． 1当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
2设O为坐标原点，证明∠OMA＝∠OMB. 解析1由已知得F1,0，l的方程为x＝1. 由已知可得，点A的坐标为或. 又M2,0，所以AM的方程为y＝－x＋或y＝x－. 2证明当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0. 当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线， 所以∠OMA＝∠OMB. 当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为 y＝kx－1k≠0，Ax1，y1，Bx2，y2， 则x10，且经过F1，F2，Q是椭圆C上的动点且在圆P外，过点Q作圆P的切线，切点为M，当|QM|的最大值为时，求t的值． 解析1设椭圆的方程为＋＝1ab0． 依题意可知，2b＝＝4，所以b＝2. 又c＝1，故a2＝b2＋c2＝5， 故椭圆C的方程为＋＝1. 2设Qx0，y0，圆P的方程为x2＋y－t2＝t2＋1. 因为PM⊥QM，所以 |QM|＝＝ ＝. 若－4t≤－2，即t≥， 当y0＝－2时，|QM|取得最大值， |QM|max＝＝， 解得t＝－2，即00的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A是椭圆上任意一点，△AF1F2的周长为4＋2. 1求椭圆C的方程；
2过点Q－4,0任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，记＝λ，若在线段MN上取一点R，使得＝－λ，则当直线l转动时，点R在某一定直线上运动，求该定直线的方程． 解析1因为△AF1F2的周长为4＋2， 所以2a＋2c＝4＋2，即a＋c＝2＋. 又椭圆的圆心率e＝＝，所以a＝2，c＝， 所以b2＝a2－c2＝1. 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. 2由题意可知，直线l的斜率必存在． 故可设直线l的方程为y＝kx＋4，Mx1，y1，Nx2，y2， 由消去y，得1＋4k2x2＋32k2x＋64k2－4＝0， 由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝， 由＝λ，得－4－x1，－y1＝λ4＋x2，y2， 所以－4－x1＝λx2＋4， 所以λ＝－. 设点R的坐标为x0，y0， 由＝－λ，得x0－x1，y0－y1＝－λx2－x0，y2－y0， 所以x0－x1＝－λx2－x0， 解得x0＝＝＝. 而2x1x2＋4x1＋x2＝2＋4＝－， x1＋x2＋8＝＋8＝， 所以x0＝－1. 故点R在定直线x＝－1上． [能力挑战] 7．[2019豫北名校联考]已知椭圆C＋＝1ab0的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x－y＋6＝0相切． 1求椭圆C的标准方程；
2已知点A，B为动直线y＝kx－2k≠0与椭圆C的两个交点，问在x轴上是否存在定点E，使得2＋为定值若存在，试求出点E的坐标和定值；
若不存在，请说明理由． 解析1由e＝，即＝，得c＝a，* 由已知得圆的方程为x2＋y2＝a2， 又圆与直线2x－y＋6＝0相切， 所以a＝＝，代入*式得c＝2， 所以b2＝a2－c2＝2，所以椭圆C的标准方程为＋＝1. 2存在．由得1＋3k2x2－12k2x＋12k2－6＝0.设Ax1，y1，Bx2，y2，则x1＋x2＝，x1x2＝，假设在x轴上存在定点Em,0， 使得2＋＝＋＝为定值， 则＝x1－m，y1x2－m，y2＝x1－mx2－m＋y1y2＝k2＋1x1x2－2k2＋mx1＋x2＋4k2＋m2＝的值与k无关， ∴3m2－12m＋10＝3m2－6，得m＝. 此时，2＋＝m2－6＝－， 所以在x轴上存在定点E， 使得2＋为定值，且定值为－.