（2）这三个数字为2，3，4；
（3）这三个数字都为3。第（1）种情况有A33个，第（2）种情况有A33个，第（3）种情况只有1个。∴各位数字之各等于9的概率为。选A 【错解分析】考虑问题不全面，各位数字之和等于9的情况不只三种情况，应该有五种2．（2020精选模拟）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格。
（1）分别求甲、乙两人考试合格的概率；
（2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。
【错误解答】 （1）由已知从10道题中，任选一道，甲答对的概率为,那么选3道题甲至少答对2道相当于三次独立重复试验发生两次或三次.∴甲合格的概率为 【错解分析】相互独立事件的概念理解错误,只有当事件A发生与否对事伯B没有任何影响时,才能说A与B相互独立.而错解中,答对第一题这个事件发生与不发生对“答对第二题”这人事件有影响。所以它们之间不独立。
【错误解答】 基本事件总数为A55120，而恰好第三次打开房门的可能为A2412，故所求概率为 【错解分析】在利用等可能事件的概率公式P（A）时，分子、分母的标准不一致，分母是将五把钥匙全排列，而分子只考虑前三次，导致错误。正确的想法是要么分子分母都考虑5次，要么都只考虑前三次，或者干脆都只考虑第三次。
[对诊下药] （方法一）5把钥匙的次序共有A55种等可能结果。第三次打开房门，看作正确的钥匙恰好放在第三的位置，有A44种，∴概率P （方法二）只考虑前3把的次序，概率P （方法三）只考虑第3把钥匙，概率P 4．（2020精选模拟）20典型例题）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是。假设两人射击中目标，相互之间没有影响；
每次射击是否击中目标，相互之间没有影响。
（1）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；
（2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
（3）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击。问乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少 【错误解答】 第（3）问，乙恰好射击5次后，被中止，则乙前3次都击中，4、5次未击中，∴所求概率为 【错解分析】乙恰好射击5次后，被中止射击，则4、5次未击中，但前3次不一定全部击中，可能有1次未击中，也可能有2次未击中。
题意。∴所求事件的概率为 【变式训练】 1 （2020精选模拟）掷三枚骰子，求所得点数中最大点数是最小点数两倍的概率是 （ ） 答案 C 解析基本事件总数是63，而这数点数是最小数点数的两倍包括1，1，2，1，2，2，2，2，4，2，3，4，2，4,4，3，3，6，3，4，6，3，5，6，3，6，6．其中1，1，2，1，2，2，2，2，4，2，4，4，3，3，6，3，6，6各包含种结果，共有6种结果；
2，3，4，3，4，6，3，5，6各包含种结果，共有3种结果．∴所求概率为 ∴选C 2 （2020精选模拟）同时抛掷3枚均匀硬币16次，则这三枚硬币至少出现一次两个正面一个反而的概率__________（用式子作答）。
答案1-（）16解析事件A出现两个正面一个反面的概率为，而事件B“至少出现一次两个正面一个反面”的对立事件“没有一次出现两个正面一个反面”的概率P16． ∴所求事件的概率为1-16. 3 （2020精选模拟）设棋子在正四面体ABCD的表面从一个顶点向另外三个顶点移动是n次掷出偶数，棋子从别的顶点移向B．∴Pnpn-11-Pn-1,而P1.∴P2 ∴所求事件的概率为. 【特别提醒】 对于等可能性事件的概率，一定要注意分子分母算法要一致，如分母考虑了顺序，则分子也应考虑顺序等；
将一个较复杂的事件进行分解时，一定要注意各事件之间是否互斥，还要注意有无考虑全面；
有时正面情况较多，应考虑利用公式P（A）1-P（）；
对于A、B是否独立，应充分利用相互独立的定义，只有A、B相互独立，才能利用公式P（AB）P（A）P（B），还应注意独立与互斥的区别，不要两者混淆。
易错点 2离散型随机变量的分布列、期望与方差 1．（2020精选模拟）盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个。第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）。记第一次与第二次取得球的标号之和为ξ。
（1）求随机变量ξ的分布列；
（2）求随机变量ξ的期望。
【错误解答】 （1）依题意，ξ的取值是3，6，7，它们所对应的概率分别为0.24,0.18,0.24,故随机变量ξ的分布列如下 ξ 3 6 7 P 0．24 0．18 0．24 【错解分析】随机变量ξ的取值不正确，当然随之概率之和不等于1，由于两次可能取到同标号的球，所以承受机变量ξ的取值应为2，3，4，6，7，10。
【正确解答】 （1）由题意可得，随机变量ξ的取值是2，3，4，6，7，10。且P（ξ2）0.30.30.09,Pξ3C120.30.40.24,Pξ40.40.40.16,Pξ620.30.30.18,Pξ720.40.30.24,Pξ100.30.30.09.故随机变量ξ的分布列如下 ξ 2 3 4 5 7 10 P 0．09 0．24 0．16 0．18 0．24 0．09 （2）随机变量ξ的数学期望 Eξ20.0930.2440.1660.1870.24100.095.2. 2．（典型例题Ⅱ）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题竞赛规则规定每题回答正确得100分，回答不正确得-100分，假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响。
（1）求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望；
（2）求这名同学总得分不为负分（即ξ≥0）的概率。
【错误解答】 （1）由于这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响，∴ξ服从二项分布。∴Eξ1000.8。
【错解分析】二项分布的概念理解错误，把n次独立重复试验事件A发生的次数作为随机变量，则这个随机变量服从二项分布，而本题中的得分不是这种随机变量，所以不服从二项分布，实际上本题中回答正确的个数服从二项分布。
【正确解答】 （1）设这名同学回答正确的个数为随机变量η，则依题意ηB（3，0.8）, ∴Eη2.4,又ξ-300180. η0时，ξ-300; η1时，ξ-100; η2时,ξ100; η3时，ξ300.所以ξ的分布列如下表所示 ξ -300 -100 100 300 P 0．008 0．096 0．384 0．512 （2）这名同学总得分不为负分的概率为P（ξ≥0）0.3840.5120.986. 3．（2020精选模拟）某电器商经过多年经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数ξ是一个随机变量，它的分布列如下 ξ 1 2 3 12 P 设每售出一台电冰箱，电器商获利300元，如销售不出而囤积于仓库，则每台每月需花保养费100元，问电器商月初购进多少台电冰箱才能使自己平均收益最大 【错误解答】 （解答1）由题意，ξ的期望Eξ（1212），由期望的意义知电器商月初购进6台或7台电冰箱才能使自己平均收益最大。
（解答2）设月初购进x台电冰箱，则获利也是随机变量，取值为300-（x-1）100，600-（x-2）100,，300 x，它们的概率均为，∴获利的期望为∵1≤x≤2. ∴x12时期望最大，∴月初购进12台电冰箱。
【错解分析】解答1，错把期望当作与实际等同，Eξ表示平均能卖台，不是一定能卖台，总之是期望理解错误；
解答2中当获利的取值为300 x时，概率也为是错误的，错误认为只有x台，卖出比x大的台数不可能。实际上获利的取值为300 x时，概率应为。
【正确解答】 设月初进x台，则获利η是一个随机变量取值为300-（x-1）100，600-（x-2）100，300 x，共x个值，它的分布列如下 η 300-（x-1）100 600-x-2100 300 x P ∴Eη 400-100 x800-100 x300 x-400300 xx2-19x.当x9或x10时，Eη最大，即月平均收益最大。
∴月初购进9台或10台电冰箱才能使月平均收益最大。
4．一接等中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率为0.5，电话C、D战线的概率为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有ξ部电话占线，试求随机变量ξ的概率分布和它的期望。
【错误解答】 由已知得，ξ的取值为0，1，2，3，4。且P（ξ0） 0.520.620.09,Pξ10.520.620.520.40.60.15,Pξ20.520.620.520.40.60.520.420.23,Pξ40.520.420.04,Pξ31-0.09-0.15-0.23-0.040.49. Eξ10.1520.2340.0430.492.4 【错解分析】P（ξ1），P（ξ2），P（ξ3）的计算有错误。P（ξ1）表示一部电话占 线的概率，它有两种情况（1）A、B当中有一部占线，C、D都不占线；
（2）A、B都不占线，C、D当中有一部占线，而对于（1），A、B当中有一部占线应为两次独立重复试验发生一次的概率，ξ（1）的概率应为C120.520.62; 同理（2）的概率应为C120.520.40.6. ∴Pξ1C10.520.62C120.520.40.60.3.同理可求P（ξ2），P（ξ3）。
【正确解答】 由题意知ξ的取值为0，1，2，3，4，它们的概率分别是P（ξ0）0.520.620.09, Pξ1C120.520.62C120.520.40.60.3, Pξ20.520.62C12C120.520.40.60.520.420.37, Pξ3C120.520.40.6C120.520.420.2, Pξ40.520.420.04。
∴ξ的概率分布如下 ξ 0 1 2 3 4 P 0．09 0．3 0．37 0．2 0．04 ∴Eξ00.0910.320.3730.240.041.8. 5．（2020精选模拟）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人浏览这三个景点的概率分别为0.4,0.5,0.6,且客人是否浏览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时浏览的景点数与没有浏览的景点数