2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． A．B．C．D． 2．已知集合，，则 A．B．C．D． 3．函数的图像大致为 4．已知向量，满足，，则 A．4B．3C．2D．0 5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A．B．C．D． 6．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A．B．C．D． 7．在中，，，，则 A．B．C．D． 8．为计算，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入 A． B． C． D． 9．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为 A．B．C． D． 10．若在是减函数，则的最大值是 A．B．C． D． 11．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为 A．B．C． D． 12．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则 A．B．0C．2D．50 二、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线在点处的切线方程为__________． 14．若满足约束条件 则的最大值为__________． 15．已知，则__________． 16．已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________． 三、解答题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。
（一）必考题共60分。
17．（12分） 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值． 18．（12分） 下图是某地区2000年至2020年环境基础设施投资额（单位亿元）的折线图． 为了预测该地区2020年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2020年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①；
根据2020年至2020年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②． （1）分别利用这两个模型，求该地区2020年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠并说明理由． 19．（12分） 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明平面；
（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． 20．（12分） 设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． （1）求的方程；
（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 21．（12分） 已知函数． （1）若，求的单调区间；
（2）证明只有一个零点． （二）选考题共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4－4坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）． （1）求和的直角坐标方程；
（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率． 23．[选修4－5不等式选讲]（10分） 设函数． （1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围． 参考答案 一、选择题 1．D2．C3．B4．B5．D6．A 7．A8．B9．C10．C11．D12．C 二、填空题 13．y2x–214．915．16．8π 三、解答题 17．解 （1）设{an}的公差为d，由题意得3a13d–15． 由a1–7得d2． 所以{an}的通项公式为an2n–9． （2）由（1）得Snn2–8n（n–4）2–16． 所以当n4时，Sn取得最小值，最小值为–16． 18．解 （1）利用模型①，该地区2020年的环境基础设施投资额的预测值为 –30.413.519226.1（亿元）． 利用模型②，该地区2020年的环境基础设施投资额的预测值为 9917.59256.5（亿元）． （2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下 （i）从折线图可以看出，2000年至2020年的数据对应的点没有随机散布在直线y–30.413.5t上下，这说明利用2000年至2020年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2020年相对2020年的环境基础设施投资额有明显增加，2020年至2020年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2020年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2020年至2020年的数据建立的线性模型9917.5t可以较好地描述2020年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠． （ii）从计算结果看，相对于2020年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠． 以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 19．解 （1）因为APCPAC4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP． 连结OB．因为ABBC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB2． 由知，OP⊥OB． 由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC． （2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM． 故CH的长为点C到平面POM的距离． 由题设可知OC2，CM，∠ACB45． 所以OM，CH． 所以点C到平面POM的距离为． 20．解 （1）由题意得F（1，0），l的方程为yk（x–1）（k0）． 设A（x1，y1），B（x2，y2）． 由得． ，故． 所以． 由题设知，解得k–1（舍去），k1． 因此l的方程为yx–1． （2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为 ，即． 设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则 解得或 因此所求圆的方程为 或． 21．解 （1）当a3时，f（x），f ′（x）． 令f ′（x）0解得x或x． 当x∈（–∞，）∪（，∞）时，f ′（x）0；
当x∈（，）时，f ′（x）0． 故f（x）在（–∞，），（，∞）单调递增，在（，）单调递减． （2）由于，所以等价于． 设，则g ′（x）≥0，仅当x0时g ′（x）0，所以g（x）在（–∞，∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点． 又f（3a–1），f（3a1），故f（x）有一个零点． 综上，f（x）只有一个零点． 22．解 （1）曲线的直角坐标方程为． 当时，的直角坐标方程为， 当时，的直角坐标方程为． （2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程 ．① 因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则． 又由①得，故，于是直线的斜率． 23．解 （1）当时， 可得的解集为． （2）等价于． 而，且当时等号成立．故等价于． 由可得或，所以的取值范围是．