3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3．1.1 两角差的余弦公式 学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算． 知识点一 两角差的余弦公式的探究 思考1 如何用角α，β的正弦、余弦值来表示cosα－β呢有人认为cosα－β＝cosα－cosβ，你认为正确吗，试举出两例加以说明． 答案 不正确． 例如当α＝，β＝时，cosα－β＝cos＝， 而cosα－cosβ＝cos－cos＝－， 故cosα－β≠cosα－cosβ；
再如当α＝，β＝时，cosα－β＝cos＝， 而cosα－cosβ＝cos－cos＝， 故cosα－β≠cosα－cosβ. 思考2 计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想． ①cos45cos45＋sin45sin45＝________；
②cos60cos30＋sin60sin30＝________；
③cos30cos120＋sin30sin120＝________；
④cos150cos210＋sin150sin210＝________. 猜想 cosαcosβ＋sinαsinβ＝________， 即______________________________________________________． 答案 ①1 ② ③0 ④ cosα－β cosα－β＝cosαcosβ＋sinαsinβ 知识点二 两角差的余弦公式 思考1 单位圆中如图，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐标是什么与的夹角是多少 答案 Acosα，sinα，Bcosβ，sinβ． 与的夹角是α－β. 思考2 请根据上述条件推导两角差的余弦公式． 答案 ①＝||||cosα－β＝cosα－β， ②＝cosαcosβ＋sinαsinβ. ∴cosα－β＝cosαcosβ＋sinαsinβ. 梳理 Cα－βcosα－β＝cosαcosβ＋sinαsinβ. 1适用条件公式中的角α，β都是任意角． 2公式结构公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反． 1．存在角α，β，使得cosα－β＝cosα－cosβ. √ 提示 如α＝，β＝，cosα－β＝cos＝cos＝，cosα－cosβ＝cos－cos＝，满足cosα－β＝cosα－cosβ. 2．任意角α，β，cosα－β＝cosαcosβ－sinαsinβ. 提示 由两角差的余弦公式可知不正确． 3．任意角α，β，cosα－β＝cosαcosβ＋sinαsinβ. √ 类型一 利用两角差的余弦公式化简求值 例1 计算 1cos－15；
2cos15cos105＋sin15sin105. 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 解 1方法一 原式＝cos30－45 ＝cos30cos45＋sin30sin45 ＝＋＝. 方法二 原式＝cos15＝cos45－30 ＝cos45cos30＋sin45sin30 ＝＋＝. 2原式＝cos15－105＝cos－90＝cos90＝0. 反思与感悟 利用两角差的余弦公式求值的一般思路 1把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解． 2在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值． 跟踪训练1 化简cos15cos45＋cos75sin45的值为 A.B.C．－D．－ 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 B 解析 cos15cos45＋cos75sin45 ＝cos15cos45＋sin15sin45 ＝cos15－45＝cos－30＝. 类型二 给值求值 例2 1已知sinα－sinβ＝1－，cosα－cosβ＝，则cosα－β等于 A．－B．－ C.D. 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 D 解析 因为sinα－sinβ＝1－，cosα－cosβ＝， 所以cosα－cosβ2＝，sinα－sinβ2＝－. 两式相加，得2－2cosα－β＝2－. 所以cosα－β＝. 2已知α，β均为锐角，sinα＝，cosα－β＝，求cosβ的值． 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 解 因为α∈，sinα＝－，所以cosα＋β＝－. 于是cosβ＝cos[α＋β－α]＝cosα＋βcosα＋sinα＋βsinα＝＋＝. 4．cosα－35cosα＋25＋sinα－35sinα＋25＝________. 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式化简 答案 解析 原式＝cos[α－35－α＋25] ＝cos－60＝cos60＝. 5．已知向量a＝cosα，sinα，b＝cosβ，sinβ，α，β∈0，π且a⊥b，求α－β的值． 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式化简 解 因为a⊥b，所以ab＝cosαcosβ＋sin αsin β＝cosα－β＝0. 因为－πα－βπ，所以α－β＝－或. 1．“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧． 2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行 1求角的某一三角函数值． 2确定角所在的范围找区间． 3确定角的值． 确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定． 一、选择题 1．cos295sin70－sin115cos110的值为 A.B．－C.D．－ 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 A 解析 原式＝－cos115cos20＋sin115sin20 ＝cos65cos20＋sin65sin20＝cos65－20 ＝cos45＝. 2．已知cos＝，0＜θ＜，则cosθ等于 A.B. C.D. 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 A 解析 ∵θ∈，∴θ＋∈， ∴sin＝＝. ∴cosθ＝cos ＝coscos＋sinsin ＝＋＝. 3．2017广东肇庆三模已知α为锐角，β为第三象限角，且cosα＝，sinβ＝－，则cosα－β的值为 A．－B．－C.D. 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 A 解析 ∵α为锐角，且cosα＝， ∴sinα＝＝. ∵β为第三象限角，且sinβ＝－， ∴cosβ＝－＝－， ∴cosα－β＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝＋＝－.故选A. 4．已知点P1，是角α终边上一点，则cos等于 A.B. C．－D. 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 A 解析 由题意可得sinα＝，cosα＝， cos＝coscosα＋sinsinα