2020高考数学人教A版课后作业 1.2020湖南考试院如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，且O是△ABC的外心，则＝ A．6 B．－6 C．8 D．－8 [答案] D [解析] ∵AB2＝AC2＋BC2，∴∠ACB为直角， ∵O为△ABC外心， ∴＝－＝－＋ ＝－||2－＝－8. 2．2010山东省实验中学模拟已知A、B、C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝sinA,1，q＝1，－cosB，则p与q的夹角是 A．锐角 B．钝角 C．直角 D．不确定 [答案] A [解析] pq＝sinA－cosB，若p与q夹角为直角，则pq＝0，∴sinA＝cosB，∵A、B∈，∴A＝B＝，则C＝，与条件矛盾；
若p与q夹角为钝角，则pq0，则由已知得BC＝AD＝2m， AC＝＝m，||＝||＝m， ∵＝x＋y，∴2＝x＋y2， ∴3m2＝x2m2＋y22m2＋2xym2mcos120， 即有x2＋4y2－2xy＝3，选B. 7．2020河北玉田一中质检已知向量a＝x2，x＋1，b＝1－x，t，若函数fx＝ab在区间－1,1上是增函数，则t的取值范围为________． [答案] t≥5 [解析] 由题意知，fx＝x21－x＋tx＋1＝－x3＋x2＋tx＋t，则f ′x＝－3x2＋2x＋t.若fx在－1,1上是增函数，则f ′x≥0在－1，1上恒成立⇔t≥3x2－2x在区间－1，1上恒成立，令gx＝3x2－2x，由于gx的图象是对称轴为x＝、开口向上的抛物线，故要使t≥3x2－2x在区间－1,1上恒成立，必有t≥g－1成立，即t≥5成立．故使fx在－1,1上是增函数的t的取值范围是t≥5. 8. 如图，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则＋的最小值为________． [答案] － [解析] 设PC＝x，则0≤x≤3.＋＝2＝－2x3－x＝2x2－6x＝2x－2－，所以＋的最小值为－. 1.文2020安徽合肥市质检在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则＝ A．1 B．2 C．3 D．4 [答案] B [解析] 由条件知AB＝2，CD＝1，BC＝， ∴MB＝MC＝， ∴＝||||cos45＝2＝1， ＝||||cos135 ＝1＝－， ∴＝＋＋ ＝＋＋＋ ＝－2＋＋1＋21＝2，故选B. 理如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，BC＝，则等于 A. B. C．2 D．3 [答案] B [解析] ＝－＝－，因为OA＝OB.所以在上的投影为||，所以＝||||＝2，同理＝||||＝，故＝－2＝. 2．文2020福建莆田一中设O为坐标原点，A1,1，若点Bx，y满足，则取得最小值时，点B的个数是 A．1 B．2 C．3 D．无数个 [答案] B [解析] ∵x2＋y2－2x－2y＋1＝0， 即x－12＋y－12＝1. ∴可行域为图中阴影部分， ∵＝||||cos〈，〉，又||为定值，∴当cos〈，〉取最小值时，取最小值， ∵y＝cosx在上为减函数，∴由图可知，当点B在E、F位置时，∠AOB最大，||最小，从而取最小值，故选B. [点评] 可用数量积的坐标表示求解，设Bx，y，令＝x＋y＝t，则y＝－x＋t，当直线y＝－x＋t过B1、B2两点时，t最小，即tmin＝3.∴当取得最小值时，点B的个数为2. 理2020福建理，8已知O是坐标原点，点A－1,1，若点Mx，y为平面区域上的一个动点，则的取值范围是 A．[－1,0] B．[0,1] C．[0,2] D．[－1,2] [答案] C [解析] ＝－1,1x，y＝y－x，画出线性约束条件表示的平面区域如图所示． 可以看出当z＝y－x过点A1,1时有最小值0，过点C0,2时有最大值2，则的取值范围是[0,2]，故选C. 3．设F1、F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，的值等于 A．0 B．2 C．4 D．－2 [答案] D [解析] 由题意得c＝＝， 又S四边形PF1QF2＝2S△PF1F2＝2F1F2h h为F1F2边上的高，所以当h＝b＝1时，S四边形PF1QF2取最大值，此时∠F1PF2＝120. 所以＝||||cos120 ＝22－＝－2. 4．2020佛山二检如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60，E为CD的中点，则＝________. [答案] 1 [解析] 以A为原点，AB所在的直线为x轴，过A且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系．则由题设条件得A0,0、B2,0、E2，、D1，，可得＝1. 5．2020烟台质检在平面直角坐标系xOy中，i，j分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，＝i＋j，＝2i＋mj，则实数m＝________. [答案] 0或－2 [解析] ∵△ABC为直角三角形， ∴当A为直角时，＝i＋j2i＋mj＝2＋m＝0⇒m＝－2；
当B为直角时，＝－＝i＋j[i＋m－1j]＝1＋m－1＝0⇒m＝0；
当C为直角时，＝－＝2i＋mj[i＋m－1j]＝2＋m2－m＝0，此方程无解． ∴实数m＝0或m＝－2. 6．文已知圆Cx－32＋y－32＝4及点A1,1，M是圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且＝2，求点N的轨迹方程． [解析] 设Mx0，y0、Nx，y． 由＝2得1－x0,1－y0＝2x－1，y－1， ∴∵点Mx0，y0在圆C上， ∴x0－32＋y0－32＝4， 即3－2x－32＋3－2y－32＝4.∴x2＋y2＝1. ∴所求点N的轨迹方程是x2＋y2＝1. 理已知点P0，－3，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足＝0，＝－，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程． [解析] 设Mx，y为所求轨迹上任一点，设Aa,0，Q0，bb0， 则＝a,3，＝x－a，y，＝－x，b－y， 由＝0，得ax－a＋3y＝0.① 由＝－得， x－a，y＝－－x，b－y ＝x，y－b， ∴，∴. 把a＝－代入①，得－x＋＋3y＝0， 整理得y＝x2x≠0． 7．文2020河北正定中学模拟已知向量a＝，－，b＝2，cos2x，其中x∈. 1试判断向量a与b能否平行，并说明理由 2求函数fx＝ab的最小值． [解析] 1若a∥b，则有cos2x＋2＝0. ∵x∈，∴cos2x＝－2，这与|cos2x|≤1矛盾， ∴a与b不能平行． 2∵fx＝ab＝－ ＝＝＝2sinx＋， ∵x∈，∴sinx∈0,1]， ∴fx＝2sinx＋≥2＝2. 当2sinx＝，即sinx＝时取等号， 故函数fx的最小值为2. 理 点D是三角形ABC内一点，并且满足AB2＋CD2＝AC2＋BD2，求证AD⊥BC. [分析] 要证明AD⊥BC，则只需要证明＝0，可设＝m，＝c，＝b，将用m，b，c线性表示，然后通过向量的运算解决． [证明] 设＝c，＝b，＝m， 则＝－＝m－c，＝－＝m－b. ∵AB2＋CD2＝AC2＋BD2， ∴c2＋m－b2＝b2＋m－c2，即 c2＋m2－2mb＋b2＝b2＋m2－2mc＋c2， ∴mc－b＝0，即－＝0， ∴＝0，∴AD⊥BC. 1．已知a、b、c为△ABC的三个内角A、B、C的对边，向量m＝，－1，n＝cosA，sinA．若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角A、B的大小分别为 A.， B.， C.， D.， [答案] C [解析] 解法1∵m⊥n，∴cosA－sinA＝0， ∴cos＝0， 又∵0Aπ，∴A＋＝，∴A＝. 在△ABC中，由正弦定理得 sinAcosB＋sinBcosA＝sin2C， ∴sinA＋B＝sin2C， 又sinA＋B＝sinC≠0，∴sinC＝1， ∴C＝，故B＝. 解法2接解法1中，A＝，在△ABC中，由余弦定理得 a＋b＝csinC， ∴＝c＝csinC，∴sinC＝1，∴C＝，故B＝. 2．不共线向量、，且2＝x＋y，若＝λλ∈R，则点x，y的轨迹方程是 A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0 [答案] A [解析] 由＝λ得，－＝λ－， 即＝1＋λ－λ. 又2＝x＋y， ∴，消去λ得x＋y＝2，故选A.