湖北省襄阳市第四中学2017届高三数学七月第二周周考试题理 湖北省襄阳市襄阳四中2017届高三七月第二周周考数学（理科）试题（7.20） 时间120分钟 分值150分 第I卷（选择题共60分） 一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分） 1．已知集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 2．复数z为纯虚数，若（为虚数单位），则实数的值为（ ） A．﹣3 B．3 C．﹣ D． 3．下列函数中，既是偶函数，又在（0，）上是单调减函数的是（ ） A． B． C． D． 4．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m,n的比值＝（ ） A．1 B． C． D． 5．给出下列命题，其中真命题的个数是 ①存在，使得成立; ②对于任意的三个平面向量、、，总有成立; ③相关系数 ，值越大，变量之间的线性相关程度越高. A．0 B．1 C．2 D．3 6．由曲线，直线及轴所围成的封闭图形的面积为（ ） A． B． C．4 D．6 7．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的所有棱中最长的是（ ） A． B． C． D．5 8．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（ ） A． B． C． D． 9．将函数f（x）＝3sin（4x＋）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象．则y＝g（x）图象的一条对称轴是（ ） A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 10．过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为，若三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 11．已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x－y的取值范围是 A． B． C． D． 12．已知函数，若函数有且只有两个零点，则k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分） 13．设，若，则 ． 14．在直径AB＝2的圆上有长度为1的动弦CD，则的最大值是 ． 15．已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,, ,则球的表面积为________． 16．_________. 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．共70分. 17．（本题12分）已知各项均为正数的数列的前项和为，满足（其中为常数）． （1）若，，数列是等差数列，求的值；
（2）若数列是等比数列，求证． 18．（本题12分）某单位员工人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组第组，第组,第组,第组,第组，得到的频率分布直方图如图所示. （1）下表是年龄的频率分布表，求正整数的值；
区间 人数 （2）现在要从年龄较小的第组中用分层抽样的方法抽取人，年龄在第组抽取的员工的人数分别是多少 （3） 在（2） 的前提下，从这人中随机抽取人参加社区宣传交流活动，求至少有人年龄在第组的概率. 19．（本题12分）如图，在梯形中,∥,,,平面平面,四边形是矩形,,点在线段上． （Ⅰ）求证平面；
（Ⅱ）当为何值时,∥平面证明你的结论；
（Ⅲ）求二面角的平面角的余弦值． 20．（本题12分）已知椭圆的离心率为，且a22b． （1）求椭圆的方程；
（2）直线lx﹣ym0与椭圆交于A，B两点，是否存在实数m，使线段AB的中点在圆x2y25上，若存在，求出m的值；
若不存在，说明理由． 21．（本题12分）函数其图像与轴交于两点，且. （1）求的取值范围；
（2）证明；
（为的导函数；
） （3）设点C在函数图像上，且△ABC为等腰直角三角形，记求的值. 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答题时用2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑． 22．（本题10分）选修41 几何证明选讲 如图，是圆外一点，是圆的切线，为切点，割线与圆交于，，， 为中点，的延长线交圆于点，证明 （Ⅰ）；
（Ⅱ）． 23．（本小题满分10分）【选修4一4坐标系与参数方程】 已知在直角坐标系x0y中，曲线（为参数），在以平面直角坐标系的原点）为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，曲线． （1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）曲线上恰好存在三个不同的点到曲线的距离相等，分别求这三个点的极坐标． 24．（本题10分）选修45 不等式选讲 已知，且． （Ⅰ）求证 （Ⅱ）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围． 参考答案 1．D 【解析】 试题分析；
，因此，，，，故选D. 考点集合包含关系 【名师点睛】本题重点考查集合间关系，容易出错的地方是审错题意，由求函数值域，易忽视小于零的情况，导致错求集合M.属于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合题要关注区间端点开与闭，强化对集合关系正确的理解. 2．D 【解析】 试题分析设复数,，化为，即，， 故选D. 3．A 【解析】 试题分析B，C是非奇非偶函数，D不是恒单调递减，故选A． 考点函数单调性与奇偶性． 4．D 【解析】 试题分析由茎叶图可知乙的中位数是，甲、乙两组数据中位数相同所以，所以甲的平均数为，甲、乙两组数据平均数也相同，所以解得，所以＝ 考点由茎叶图求中位数及平均数． 5．B 【解析】 试题分析因为，，故①为假命题，对于②向量的数量积不满足结合律，故为假命题，③由相关性判断方法可知，为真命题，综上可知，真命题的个数为，故选Ｂ． 考点命题真假判断． 6．A 【解析】 试题分析由解得，故面积为． 考点定积分． 7．B 【解析】 试题分析本题只要画出原几何体，理清位置及数量关系，由勾股定理可得答案． 解由三视图可知原几何体为三棱锥， 其中底面△ABC为俯视图中的直角三角形，∠BAC为直角， 其中AC3，AB4，BC5，PB⊥底面ABC，且PB4， 由以上条件可知，∠PBC为直角，最长的棱为PC， 在直角三角形PBC中，由勾股定理得，， 故选B 考点由三视图求面积、体积． 8．A 【解析】 试题分析根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表 是否继续循环 S K 循环前/0 0 第一圈 是 1 1 第二圈 是 3 2 第三圈 是 11 3 第四圈 是 2059 4 第五圈 否 ∴最终输出结果k4，故答案为A． 考点程序框图． 9．C 【解析】 试题分析横坐标伸长到原来的两倍，得到，再向右移动得到，注意到，故对称轴为． 考点三角函数图象变换． 10．C 【解析】由题意，．双曲线的渐近线方程为． 由，解得；
由，解得． 由题意，即，整理得． 所以，故．故选C． 【命题意图】本题主要考查双曲线的性质以及直线方程、等比数列等基础知识，考查基本的运算能力等． 11．A 【解析】 试题分析线性约束条件对应的可行域为直线围成的区域，顶点为，目标函数z＝3x－y在点处取得最小值，在点处取得最大值6 考点线性规划问题 12．C 【解析】 试题分析，画出函数图象如下图所示．令，这是双曲线的一支，其渐近线方程为．由图象可知，渐近线与图象只有一个交点．令，故函数在处的切线方程为．从而的的取值范围是． 考点1．函数导数；
2．零点问题． 【思路点晴】零点问题一种解法是变为两个函数图象的交点，如本题中的的零点问题，转化为左右两边函数图象有两个交点．我们只需要画出函数图象，就可以解决这个问题．在函数的第一段中，，由此可知该图象为双曲线的一支，其渐近线方程为．另一段求取其过的切线方程，的范围就在这两条直接的斜率之间． 13． 【解析】 试题分析根据题意可知，，所以． 考点定积分，二项展开式． 14． 【解析】 试题分析以的中点为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示 连结和，则，设（），则，，，，所以，，所以 ，因为，所以，所以当，即时，，所以答案应填． 考点1、任意角的三角函数；
2、平面向量的坐标运算；
3、两角和与差的余弦公式；
4、辅助角公式；
5、三角函数的图象与性质． 15． 【解析】 试题分析由下图可知，球心在的位置，球的半径为，故表面积为． 考点球的内接几何体． 【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为，常见的图形有正三角形，直角三角形，矩形，它们的外心可用其几何性质求；
而其它不规则图形的外心，可利用正弦定理来求．若长方体长宽高分别为则其体对角线长为；
长方体的外接球球心是其体对角线中点．直棱柱；
有一条棱垂直于一个面的棱锥，设高为其外接球半径公式秒杀公式． 16．或 【解析】 试题分析据正弦定理可求出角B的正弦值，进而得到其角度值． ，根据正弦定理可得或. 考点正弦定理． 17．（1）；
（2）证明见解析． 【解析】 试题分析（1）已知条件是，这种问题一般都是再写一次即，两式相减变形后可得，注意这里有，但由于数列是等差数列，因此也有，代入已知可求得；
（2）与（1）相同方法得，由数列是等比数列，可设，代入化简得，下面对此式分析，首先，，不是常数列，这样此式对恒成立，必有，恒等式变为，不能得出什么有用结论，回到已知条件，已知变为，此式中，，那么只能有，命题得证． 试题解析（1）由题意知，， ， 两式相减，得， 整理，得， ，， 数列是等差数列，， 由得，， ，；
（2）由得， 两式相减，得， 设等比数列的公比为，， ，由已知，可知， ，不是常数列，；
，而且，， ． 考点等差数列与等比数列的定义． 18．（1），（2）人，人，人. （3） 【解析】 试题分析（1）由频数等于总数乘以频率，而频率等于纵坐标乘以组距，因此，（2）由分层抽样知，按比例抽取第，2组的人数为 ，第组的人数为 （3） 从这人中随机抽取人共有15种方法，其中年龄没人在第组的有1种方法，所以至少有人年龄在第组有14种方法，从而所求概率为 试题解析解（1）由题设可知，，. （2）因为第组共有人，利用分层抽样在名员工中抽取名员工，每组抽取人数分别为第组的人数为，第组的人数为， 第组的人数为. 所以第组分别抽取人，人，人. （3） 设第组的位员工为，第组的位员工为，第组的位员工为，则从六位员工为员工中的两位员工有 共种可能. 其中人年龄都不在第组的有，共种可能. 所以至少有人年龄在第组的概率为. 考点分层抽样，古典概型概率 【方