一、与中点弦及弦的中点有关的问题 例1 过点的直线与双曲线交于两点，求弦MN的中点P的轨迹方程。
解设，，则，两式作差并整理，得 设弦的中点，又，且。
则 所以所求中点P的轨迹方程是 二、对称性问题 例2 已知椭圆，A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点求的取值范围。
解设， 代入椭圆方程， 两式作差并整理，得 又直线AB的斜率与其垂直平分线的斜率互为负倒数。
即 ，得 三、曲线的探求问题 例3 已知椭圆的中心在原点，且以坐标轴为对称轴，它与直线相交于A，B两点，C是AB的中点，且，OC的斜率是，求椭圆的方程。
解设椭圆方程是（这种设法避免了讨论焦点位置），，，代入椭圆方程，两式作差并整理，得 ， 又 所以 又由弦长公式得，把直线方程代入椭圆方程得 由一元二次方程根与系数的关系及得，在把代入，即解得，。
所求椭圆方程为 四、定值问题和定点问题 例4 已知A、B是抛物线上原点O外的两个动点，已知，求证AB所在直线必过一个定点。
证明设，由，且，得 把②③代入①整理得 ④ 由②－③整理得 所以直线AB的方程为 整理得 即直线过定点 五、某些几何量的计算问题 例5 过抛物线的点作倾角互补的两条直线AB、AC，交抛物线于B、C，求直线BC的斜率。
解设，代入抛物线方程得 ① ② ③ ①②两式作差整理得 ④ ①③两式作差整理得 ②③两式作差整理得 又因为整理得代入④即得到直线的斜率为 六、曲线方程中参数的确定问题 例6 已知直线与双曲线相交于A、B两点，问取何值时，以AB为直径的圆经过原点。
解设，若以AB为直径的圆过坐标原点必有，即得 ① 把代入双曲线方程 得 所以② ③ ④ 解①②③④组成的方程组得