阜阳三中2020学年竞培中心竞一年级第二次调研考试 数学试卷 一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为 A. B. C. D. 2. 设函数在上可导，则等于（ ） A． B． C． D．以上都不对 3. 若直线和直线相互垂直,则a值为 A．0 B．1 C．0或1 D．0或－1 4. 若数列满足－＝dn∈N*，d为常数，则称数列为“调和数列”．已知正项数列{}为“调和数列”，且b1＋b2＋＋b9＝90，则b4b6的最大值是 A．10 B．100 C．200 D．400 5．下列四个结论 ⑴两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行. ⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行. ⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行. ⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行.其中正确的个数为 A.0 B.1 C.2 D. 3 6. 圆和圆交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程是 A. xy30 B. 2x-y-50 C. 3x-y-90 D. 4x-3y70 7．满足条件的△ABC的个数是 A．一个 B．两个C．无数个D．不存在 8．如果的解集为，则对于函数应有 A.B. C.D. 9.已知下图是一个几何体的三视图及有关数据如图所示, 则该几何体的棱的长度中，最大的是 A． B． C． D． 正视图 左视图 俯视图 1 1 2 10. 若实数满足，则的最大值是 A. B. C. D. 11. 已知实数，满足条件若恒成立，则实数的最大值为 A．5 B． C. D． 12. 已知递增数列对任意均满足，记 ，则数列 的前项和等于 A. B. C. D. 二、本大题共4小题,每小题5分,共20分,请将答案填在答题卷的指定位置. 13. 直线必过一定点，则定点的坐标为 . 14. 设函数在内可导，且则＝________. 15. 已知三棱锥A-BCD中，BC⊥CD，ABAD，BC1，CD，则该三棱锥外接球的体积为 _______. 16. 在中，，，是的一个三等分点，则的最大值是 ． 三、本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分） 如图在三棱锥中，已知点、、分别为棱、、的中点. （1）求证∥平面；
（2）若，，求证平面⊥平面. 18．（本小题满分12分） 已知数列的前项和为，且满足（N）． （1） 求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和． 19.（本小题满分12分） 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素；
一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素．另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐 20．（本小题满分12分） 在中，内角所对的边分别为,已知，且成等比数列. （1）求；
（2）若，求的值. 21. （本小题满分12分） 设各项均为正数的数列的前项和为，且满足． （1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明对一切正整数，有 22. （本小题满分12分） 已知点及圆. （1）若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程；
（2）设过P直线与圆交于、两点，当时，求以为直径的圆的方程；
（3）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦若存在，求出实数的值；
若不存在，请说明理由． 阜阳三中2020学年竞培中心竞一年级二调 数学答案 1. B2. A 3. C4. B5．A6. C7． D8． D9. B 10. A11. D12. D 13. （-4，-2） 14. 3 15. 16. 17. 证明（Ⅰ）∵是的中位线，∴∥.又∵平面，平面， ∴∥平面. （Ⅱ）∵,，∴.∵,，∴. 又∵平面，平面，，∴平面，又∵平面， ∴平面⊥平面. 18． 解Ⅰ当时,,解得；
当时,,,两式相减得, 化简得,所以数列是首项为,公比为的等比数列.所以. Ⅱ由Ⅰ可得,所以, 两式相减得 , 所以数列的前项和. 19. 为该儿童分别预订个单位的午餐和晚餐，共花费元，则，且满足以下条件 ，即，做出可行域（图略）作直线， 平移直线至，当 经过C点时，可使达到最小值． 由 即， 此时， 答 午餐和晚餐分别预定4个单位和3个单位，花费最少z22元． 20．（I），.由正弦定理得，又A∈（0，π），..（II）由（I）知，，由余弦定理得，，，，又成等比数列，所以，由正弦定理得.∵， ， . 21. （Ⅰ）所以， （Ⅱ） （Ⅲ） 22. 解（Ⅰ）设直线的斜率为（存在）则方程为. 又圆C的圆心为，半径， 由 ， 解得.所以直线方程为， 即 . 当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件. （Ⅱ）由于，而弦心距，所以.所以为的中点. 故以为直径的圆的方程为. （Ⅲ）把直线即．代入圆的方程， 消去，整理得． 由于直线交圆于两点， 故，即，解得． 则实数的取值范围是．设符合条件的实数存在， 由于垂直平分弦，故圆心必在上． 所以的斜率，而，所以． 由于，故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦．