又函数的最小正周期为，所以． ∴．选A． 6.在中，，，的面积为则 A. 13B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知利用三角形的面积公式可求的值，进而根据余弦定理可求的值． 【详解】，，的面积为 解得， 由余弦定理可得 本题正确选项 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 7.已知数列的通项公式是，其前项和，则项数 A. 13B. 10C. 9D. 6 【答案】D 【解析】 ∵数列{an}的通项公式是，则 据此可得，求解关于的方程可得n＝6. 本题选择D选项. 8.已知函数，若，则实数的取值范围 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出，得到，根据函数在递增，求出的范围即可. 【详解】函数， 即 即 而在递增，故 解得 本题正确选项 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，求出和的关系是解题的关键，是一道中档题． 9.已知△ABC和点M满足.若存在实数m使得成立，则m＝__________. 【答案】3 【解析】 试题分析由条件知是的重心，设是边的中点，则，而，所以，故选B. 考点平面向量. 【此处有视频，请去附件查看】 10.已知函数，若存在使得，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，作出函数的图象草图，而直线恒过定点，分析可得若存在使得，则函数的图象在直线下方有图象或有交点，据此分情况讨论的取值范围，综合即可得答案． 【详解】根据题意，函数，其图象如图 直线恒过定点 若存在使得，则函数的图象在直线下方有图象或有交点，则直线与函数的图象必定有交点 分析可得当时，直线经过第一三四象限，与函数的图象必有交点，符合题意；
当时，直线经过第二三四象限，若直线与有交点，必然相交于第二象限 则有，即，变形可得 令，解得或（舍） 则有 综合可得的取值范围为 本题正确选项 【点睛】本题考查分段函数的解析式，关键是分析函数的图象，通过图象分析出直线需满足的条件. 11.已知函数，当时， 恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 记函数在上的最小值为的定义域为. . 令，得或. ①时，对任意的,，在上单调递增，的最小值为 ②当时， 的最小值为; ③当时，对任意的,在上单调递减，的最小值为. 由①②③可知 易知在上单调递减，且, 故实数的取值范围为. 故选C. 点睛导数问题经常会遇见恒成立的问题 （1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；
（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） . 12.设函数的定义域为，若存在常数，使对一切实数均成立，则称为“倍约束函数”现给出下列函数；
；
；
是定义在实数集上的奇函数，且对一切，均有其中是“倍约束函数”的序号是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查阅读题意的能力，根据倍约束函数的定义对各选项进行判定比较各个选项，发现只有选项①③④，根据单调性可求出存在正常数满足条件；
而对于其它选项，不等式变形之后，发现都不存在正常数使之满足条件，由此即可得到正确答案． 【详解】对于①，是任意正数时都有，是倍约束函数，故①正确；
对于②，，，即，不存在这样的对一切实数均成立，故②错误；
对于③，要使成立，即，当时，可取任意正数；
当时，只须，因为，所以故③正确． 对于④，是定义在实数集上的奇函数，故是偶函数，因而由得到，成立，存在，使对一切实数均成立，符合题意，故正确． 本题正确选项 【点睛】本题重点考查了函数的最值及其性质，对各项逐个加以分析变形，利用函数、不等式进行检验，方可得出正确结论.深刻理解题中倍约束函数的定义，用不等式的性质加以处理，找出不等式恒成立的条件再进行判断，是解决本题的关键所在，属于难题． 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13.已知向量与满足，则则与的夹角为________。
【答案】 【解析】 试题分析有题意得， 考点求平面向量的夹角. 【此处有视频，请去附件查看】 14.在中，，，，则的角平分线，则______． 【答案】 【解析】 【分析】 由已知及正弦定理可求，可得，利用三角形内角和定理及已知可求，进而可求的值，在中，由正弦定理即可解得的值． 【详解】 中，，， 由正弦定理可得 ， 为的角平分线 ， 在中，由正弦定理可得 本题正确结果 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题． 15.函数有极值，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】 求出的导数，通过讨论的范围，确定导函数的符号，得到函数的单调性，从而确定的范围即可． 【详解】 令 函数有极值，则在区间上有实数根 当时，，则函数在区间单调递增 时，；
时， 故存在，使得在递减，在递增 故的极大值是，符合题意；
当时，令，解得 令，解得，此时函数单调递增 令，解得，此时函数单调递减 当时，函数取得极大值． 当趋近于与趋近于时， 要使在区间上有实数根，则，解得 综上实数的取值范围是 本题正确结果 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，是中档题． 16.定义若函数的定义域为，且存在非零常数，对任意，恒成立，则称为线周期函数，为的线周期若为线周期函数，则的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】 根据线周期函数定义，建立方程，然后利用对比法进行求解即可． 【详解】若为线周期函数 则满足对任意，恒成立 即， 即 则 本题正确结果 【点睛】本题主要考查函数周期的应用，新定义问题.结合新定义线周期函数，建立方程是解决本题的关键，考查学生的计算能力． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17.已知向量，，函数，若函数的图象的两个相邻对称中心的距离为． 1求函数的单调增区间；
2将函数的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，当时，求函数的值域． 【答案】（1）；
（2）. 【解析】 【分析】 （1）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换求得的解析式，再利用正弦函数的单调性求得的单调增区间；
（2）由题意根据的图象变换规律，求得的解析式，再利用定义域和单调性，求得函数的值域． 【详解】（1）由题意可得 由题意知 由 解得 的单调增区间为 （2）由题意，把的图象向左平移个单位，得到 再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到 函数的值域为 【点睛】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于基础题． 18.已知等差数列的公差，其前项和为，且，成等比数列. （1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和. 【答案】1；
2. 【解析】 试题分析（1）由可得 化为．由成等比数列，可得 化为联立解得即可得出 （2） 利用裂项求和方法、等差数列的求和公式即可得出． 试题解析 （1）因为，即 即，① 因为为等比数列，即 所以，化简得② 联立①和②得， 所以 （2）因为 所以 19.已知函数，． 若，函数的图象与函数的图象相切，求的值；
若，，函数满足对任意，，都有恒成立，求的取值范围；
【答案】（1）；
（2）. 【解析】 【分析】 （1）设切点为，得到切线方程，可得，求解可得值；
（2）当，时，，利用导数研究函数单调性，不妨设，原不等式，即，令，把原不等式转化为在上递减，由在上恒成立，分离参数后利用函数的单调性求最值得答案． 【详解】（1）若，函数的图象与的图象相切 设切点为，则切线方程为 得 （2）当，时， 在上单调递增 不妨设，原不等式 即 设，则原不等式在上递减 即在上恒成立 在上恒成立． 函数在上递减 又 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值等问题.考查数学转化思想方法，训练了恒成立问题的求解方法，是中档题．在求解恒成立问题时，通过分离变量方式得到参数与最值的比较是常用方式. 20.在中，是边上的点，，. （1）求；
（2）若，求的面积. 【答案】1；
2. 【解析】 试题分析（1）直接利用余弦定理和正弦定理求出结果． （2）利用（1）的结论和余弦定理求出三角形的面积． 试题解析 （1）在中， ， 得 由，得 在中，由正弦定理得， 所以 （2）因为，是锐角，所以 设，在中， 即 化简得 解得或（舍去） 则 由和互补，得 所以的面积 21.设是等比数列，公比大于0，其前项和为，是等差数列已知，，，． 1求和的通项公式；
2设数列的前项和为， 求；
证明 【答案】1，；
2（i）.（ii）证明见解析. 【解析】 分析（1）由题意得到关于的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得 （2）（i）由（1），有，则. （ii）因为，裂项求和可得. 详解（1）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而 故 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为 （2）（i）由（1），有，故. （ii）因为， 所以. 点睛本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 22.已知函数． 当时，求的单调区间；
令，在区间，为自然对数的底． （i）若函