晋冀鲁豫名校2020届高三数学上学期期末联考试题（含解析） 一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合，则（ ） A.B.C.D. 【答案】D 【解析】 【分析】 首先求得集合A,B，然后求解其并集即可. 【详解】． 本题选择D选项. 【点睛】本题主要考查集合的表示方法，并集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2.若为虚数单位，则（ ） A.B.C.D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数除法运算化简复数，由此得出正确选项. 【详解】依题意，故选B. 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查运算求解能力，属于基础题. 3.若直线平分圆，则实数的值为（ ） A.B.C.D.或 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意可知直线经过圆心，据此得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值. 【详解】当直线经过圆心时平分圆，所以，圆心在直线上， 所以，解得． 本题选择A选项. 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，方程思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4.2020年12月12日，某地食品公司对某副食品店某半月内每天的顾客人数进行统计得到样本数据的茎叶图如图所示，则该样本的中位数是（ ） A. 45B. 47C. 48D. 63 【答案】A 【解析】 【分析】 由茎叶图确定所给的所有数据，然后确定中位数即可. 【详解】各数据为12 20 31 32 34 45 45 45 47 47 48 50 50 61 63， 最中间的数为45，所以，中位数为45． 本题选择A选项. 【点睛】本题主要考查茎叶图的阅读，中位数的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5.已知双曲线的离心率为；
关于的方程（）有两个不相等的实数根，则下列为假命题的是（ ） A.B.C.D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由双曲线的方程求解双曲线的离心率可知p为假命题，由判别式为正数可知命题q为真命题，然后考查选项中所给的复合命题的真假即可. 【详解】双曲线中，，所以，，离心率为为假命题；
对于命题q，所以方程（）有两个不相等的实数根，为真命题， 考查所给的命题 A.是真命题，B.是真命题，C.是假命题，D.是真命题. 本题选择C选项. 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的计算，一元二次方程根的个数的判定，复合命题真假的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6.若，且是第三象限角，则（ ） A.B.C.D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意结合诱导公式首先求得，然后结合同角三角函数基本关系求得，最后由诱导公式求解的值即可. 【详解】是第三象限角，所以， ． 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7.若执行如图所示的程序框图，则输出S的值为 A.B.C.D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先确定流程图的功能为计数的值，然后利用裂项求和的方法即可求得最终结果. 【详解】由题意结合流程图可知流程图输出结果为， ， . 本题选择C选项. 【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路 1要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． 2要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． 3按照题目的要求完成解答并验证． 8.我国南北朝时期的数学著作张邱建算经有这样一个问题今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三金，持出，中间三人未到者，亦等次更给，问各得金几何则据你对数学史的研究与数学问题的理解可知，两个人所得金相差数额绝对值的最小值是（ ） A.斤B.斤C.斤D.斤 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意将原问题转化为等差数列的问题，列方程组可得，结合题意可确定两个人所得金相差数额绝对值的最小值. 【详解】设首项为，公差为，则根据题意可得，解得． 则两个人所得金相差数额绝对值的最小值是斤. 本题选择C选项. 【点睛】本题主要考查等差数列及其应用，属于基础题. 9.若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A.B.C. 2D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 首先由三视图还原所给的几何体为三棱锥，然后结合体积公式求解其体积即可. 【详解】据三视图分析知，该几何体是如图所示的棱长为2的正方体被平面解得的三棱锥， 且是正方体所在棱的中点，所以该几何体的体积． 【点睛】1求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；
2若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 10.已知函数，若，则下列关系式中正确的是（ ） A.B.C.D. 【答案】D 【解析】 【分析】 首先由均值不等式和不等式的性质比较自变量的大小可得，然后结合函数区间上单调递增比较p,q,r的大小即可. 【详解】因为，所以， ，又，， 又因为函数在区间上单调递增， 所以，即． 【点睛】本题主要考查函数的单调性，均值不等式比较代数式的大小等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 11.已知过抛物线的焦点作斜率为的直线交抛物线于两点，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，若四边形的面积是，则抛物线的方程是（ ） A.B.C.D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意，联立直线方程与抛物线方程可得，结合韦达定理有．则四边形的面积为，据此得到关于p的方程，解方程即可确定抛物线方程. 【详解】据题意，得直线的方程为．由，得． 设，则． 所以， 所以，解得， 所以抛物线的方程为． 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线方程的求解，韦达定理的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12.已知函数有且只有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A.B.C.D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可得，由题意可知函数的图象与函数的图象有且只有三个交点，据此确定实数t的取值范围即可. 【详解】令，得，作出函数的图象，据题设分析可知，函数的图象与函数的图象有且只有三个交点，则实数的取值范围是． 【点睛】本题主要考查分段函数的零点问题，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 二、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13.已知，则向量与夹角的正弦值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】 由题意利用向量夹角公式首先求得向量夹角的余弦值，然后结合同角三角函数基本关系求解其正弦值即可. 【详解】， ． 【点睛】本题主要考查平面向量的夹角，同角三角函数基本关系及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 14.已知实数满足不等式组，则的最小值是______________． 【答案】 【解析】 【分析】 首先画出可行域，由几何意义可知当取得最小值时，直线系方程的截距最大， 即目标函数在点C处取得最小值，求得点C的坐标，代入目标函数求解其最小值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示， 目标函数即， 由几何意义可知当取得最小值时，直线系方程的截距最大， 则目标函数在点C处取得最小值， 联立直线方程，可得点C的坐标为， 据此可知目标函数的最小值为. 故答案为-43． 【点睛】求线性目标函数z＝ax＋byab≠0的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；
当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大. 15.的展开式中的常数项为______________． 【答案】 【解析】 【分析】 由题意首先写出展开式的通项公式，然后结合所给的式子求解其常数项即可. 【详解】三项式展开式的通项公式为， 所以的展开式中的常数项为 ． 【点睛】1二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成第一步根据所给出的条件特定项和通项公式，建立方程来确定指数求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等；
第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． 2求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解． 16.已知数列的前项和为，若对成立，则实数的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】 由题意首先将递推关系式整理为关于的形式，然后结合等比数列通项公式可得，由前n项和公式确定通项公式，计算可得，结合恒成立的条件可得恒成立，据此讨论可得实数a的取值范围. 【详解】据题意，得． 又，． 当时，；
当时 ， ． 又当时，恒成立，对，且成立，． 又成立．综上，所求实数的取值范围是． 【点睛】给出与的递推关系，求an，常用思路是一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；
二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an. 三、解答题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 17.在中，角的对边分别为． （1）求证；
（2）若，求的周长． 【答案】（1）见解析；
（2） 【解析】 【分析】 （1）由题意，切化弦整理可得，然后利用正弦定理边化角，逆用两角和差正余弦公式即可证得题中的结论. （2）据（1）可知，结合余弦定理有， 据此求得a,b的边长，然后确定△ABC的周长即可. 【详解】（1）由题得， 所以． 又因为，所以， 所以， 所以， 所以，又因为为的角，所以． （2）据（1）可知，，所以，又因为， 所以， 所以． 所以的周长． 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 18.如图，矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，，分别是的中点． （1）求证平面平面；
（2）求二面角的正切值． 【答案】（1）见解析；
（2） 【解析】 【分析】 （1）由几何关系可知四边形是平行四边形，则． 由线面平行的判定定理可得平面． 由中位线的性质可知，则面利用面面平行的判定定理即可证得平面平面． （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，计算可得平面的一个法向量．而平面的一个法向量为．据此可得，然后结合同角三角函数基本关系求解二面角的正切值即可. 【详解】（1）因为是的中点，，所以． 又因为，，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以． 又因为平面平面，所以平面． 因为分别是的中点，所以． 又因为平面平面，所以面 又因为平面平面，所以平面平面． （2）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则， 所以． 设平面的一个法向量为，则，令，得， 所以． 易知平面的一个法向量为． 所以． 又因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的正切值． 【点睛】本题主要考查面面平行的判定定理，空间向量处理面面角的方法等知识，意