离散型随机变量及其分布列与超几何分布(理)ppt课件

1 理解取有限个值的离散型随机变量的分布列的概念 认识分布列刻画随机现象的重要性 会求取有限个值的离散型随机变量的分布列 2 理解超几何分布 并能进行简单的应用 1 离散型随机变量的分布列及其性质 1 离散型随机变量的分布列设离散型随机变量X的取值为a1 a2 随机变量X取ai的概率为pi i 1 2 记作 i 1 2 或把上式列成表 P X ai pi 称为离散型随机变量X的分布列 2 离散型随机变量分布列的性质 pi 0 i 1 2 p1 p2 1 p1 p2 2 超几何分布一般地 设有N件产品 其中有M M N 件次品 从中任取n n N 件产品 用X表示取出的n件产品中次品的件数 那么P X k 其中k为非负整数 则称X服从参数为N M n的超几何分布 1 下列4个表格中 可以作为离散型随机变量分布列的一个是 A B C D 答案 C 2 袋中有大小相同的6只钢球 分别标有1 2 3 4 5 6六个号码 任意抽取2个球 设2个球号码之和为X 则X的所有可能取值个数为 A 36B 12C 9D 8 解析 X的所有可能取值为 3 4 5 6 7 8 9 10 11共9个 答案 C 3 已知随机变量X的分布列为P X i i 1 2 3 则P X 2 A B C D 解析 1 a 3 P X 2 答案 C 4 已知随机变量X的分布列为 则x 解析 0 1 0 2 0 3 x 0 1 1 x 0 3 答案 0 3 5 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛 则所选3人中女生人数不超过1人的概率是 解析 设所选女生人数为x 则x服从超几何分布 其中N 6 M 2 n 3 则P x 1 P x 0 P x 1 答案 1 离散型随机变量的特征是能一一列出 且每一个值各代表一个试验结果 所以研究随机变量时 关心的是随机变量能取哪些值 包含了哪些试验结果 基本事件 2 离散型随机变量的分布列常用表格的形式表示 其结构为两行 n 1列 第一行表示随机变量的取值 第二行对应于随机变量的概率 设离散型随机变量X的分布列为 求 1 2X 1的分布列 2 X 1 的分布列 思路点拨 课堂笔记 由分布列的性质知 0 2 0 1 0 1 0 3 m 1 m 0 3 首先列表为 13579 10123 从而由上表得两个分布列为 1 2X 1的分布列 2 X 1 的分布列 13579 0 20 10 10 30 3 0123 0 10 30 30 3 保持题目条件不变 求P 1 2X 1 9 解 P 1 2X 1 9 P 2X 1 3 P 2X 1 5 P 2X 1 7 0 1 0 1 0 3 0 5 求一随机变量的分布列 可按下面的步骤 1 明确随机变量的取值范围 2 求出每一个随机变量在某一范围内取值的概率 3 列成表格 特别警示 1 解决该类问题的关键是搞清离散型随机变量X取每一个值时对应的随机事件 然后求出X取每一个值的概率 2 列出分布列后 要注意应用分布列的性质检验所求的分布列或概率是否正确 袋中装着标有数字1 2 3 4 5的小球各2个 从袋中任取3个小球 按3个小球上最大数字的9倍计分 每个小球被取出的可能性都相等 用X表示取出的3个小球上的最大数字 求 1 取出的3个小球上的数字互不相同的概率 2 随机变量X的分布列 3 计分介于20分到40分之间的概率 思路点拨 课堂笔记 1 法一 一次取出的3个小球上的数字互不相同 的事件记为A 则P A 法二 一次取出的3个小球上的数字互不相同 的事件记为A 一次取出的3个小球上有两个数字相同 的事件记为B 则事件A和事件B是对立事件 因为P B 所以P A 1 P B 1 2 由题意 X所有可能的取值为2 3 4 5 P X 2 P X 3 P X 4 P X 5 所以随机变量X的概率分布列为 2345 3 一次取球所得计分介于20分到40分之间 记为事件C 则P C P X 3或X 4 P X 3 P X 4 若将题目条件中的 最大数字 改为 最小数字 试解决上述问题 解 1 同例2解法 2 由题意 X所有可能的取值为1 2 3 4 P X 1 P X 2 P X 3 P X 4 所以随机变量X的分布列为 1234 3 一次取球所得计分介于20分到40分之间 的事件记为C 则P C P X 3或X 4 P X 3 P X 4 超几何分布是一种很重要的分布 其理论基础是古典概型 主要运用于抽查产品 摸不同类别的小球等概率模型 其中的随机变量相应是正品 或次品 的件数 某种小球的个数 如果一随机变量 服从超几何分布 那么事件 X k 发生的概率为P X k k 0 1 2 m m min M n 特别警示 超几何分布描述的是不放回抽样问题 随机变量为抽到的某类个体的个数 在一次购物抽奖活动中 假设某10张券中有一等奖券1张 可获价值50元的商品 有二等奖券3张 每张可获价值10元的奖品 其余6张没有奖 某顾客从此10张奖券中任抽2张 求 1 该顾客中奖的概率 2 该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布列 思路点拨 课堂笔记 1 该顾客中奖 说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张 由于是等可能地抽取 所以该顾客中奖的概率为P 或用间接法 即P 1 1 2 依题意可知X的所有可能取值为0 10 20 50 60 元 且P X 0 P X 10 P X 20 P X 50 P X 60 所以X的分布列为 010205060 将题目中的条件 任抽2张 改为 任抽3张 求 1 该顾客中奖的概率 2 若抽一张券需花费9元 那么 该顾客抽2张奖券还是抽3张奖券合算 解 1 P 1 2 用Y表示该顾客抽3张奖券后获得奖品总价值 P Y 0 P Y 10 P Y 20 P Y 30 P Y 50 P Y 60 P Y 70 E Y 0 10 20 30 50 60 70 24 E Y 3 9 3 在例3的基础上可得E X 10 20 50 60 16 E X 2 9 2 E Y 27 E X 18 抽2张奖券更合算 以实际问题为背景 以解答题的形式考查随机变量的概率 分布列是高考对本节内容的常规考法 09年福建高考将概率 离散型随机变量的分布列与集合 组合数的性质等相结合考查 是一个新的考查方向 考题印证 2009 福建高考 12分 从集合 1 2 3 4 5 的所有非空子集中 等可能地取出一个 1 记性质r 集合中的所有元素之和为10 求所取出的非空子集满足性质r的概率 2 记所取出的非空子集的元素个数为X 求X的分布列和数学期望EX 解 1 记 所取出的非空子集满足性质r 为事件A 基本事件总数n 31 事件A包含的基本事件是 1 4 5 2 3 5 1 2 3 4 事件A包含的基本事件数m 3 P A 5分 2 依题意 X的所有可能取值为1 2 3 4 5 又P X 1 P X 2 P X 3 P X 4 P X 5 9分 故X的分布列为 从而EX 1 2 3 4 5 12分 11分 12345 自主体验 某中学组建了A B C D E五个不同的社团组织 为培养学生的兴趣爱好 要求每个学生必须参加 且只能参加一个社团 假定某班级的甲 乙 丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的 1 求甲 乙 丙三名学生参加五个社团的所有选法种数 2 求甲 乙 丙三人中至少有两人参加同一社团的概率 3 设随机变量X为甲 乙 丙这三个学生参加A社团的人数 求X的分布列与数学期望 解 1 甲 乙 丙三名学生参加五个社团的选法均有5种 故共有5 5 5 125 种 2 三名学生选择三个不同社团的概率是 三名学生中至少有两人选择同一个社团的概率为1 3 由题意X 0 1 2 3 P X 0 P X 1 P X 2 P X 3 故X的分布列为 数学期望EX 0 1 2 3 0123 1 设随机变量X等可能取值1 2 3 n 如果P X 4 0 3 那么 A n 3B n 4C n 9D n 10 解析 P X 4 P X 1 P X 2 P X 3 0 3 n 10 答案 D 2 随机变量X的概率分布规律为P X n n 1 2 3 4 其中a是常数 则PX的值为 A B C D 解析 由题意得 1 a 1 a PX P X 1 P X 2 答案 D 3 设某项试验的成功率是失败率的2倍 用随机变量X去描述1次试验的成功次数 则P X 0 等于 A 0B C D 解析 设X的分布列为 即 X 0 表示试验失败 X 1 表示试验成功 设失败率为p 则成功率为2p 由p 2p 1得p 答案 C 01 4 从装有3个红球 2个白球的袋中随机取出2个球 设其中有X个红球 则随机变量X的概率分布为 解析 P X 2 0 3 P X 0 0 1 P X 1 0 6 答案 0 10 60 3 5 随机变量X的分布列如下 其中a b c成等差数列 则P X 1 解析 a b c成等差数列 2b a c 又a b c 1 b P X 1 a c 答案 6 2009 全国卷 某车间甲组有10名工人 其中有4名女工人 乙组有5名工人 其中有3名女工人 现采用分层抽样方法 层内采用不放回简单随机抽样 从甲 乙两组中共抽取3名工人进行技术考核 1 求从甲 乙两组各抽取的人数 2 求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率 3 记X表示抽取的3名工人中男工人数 求X的分布列及数学期望 解 1 由于甲组有10名工人 乙组有5名工人 根据分层抽样原理 若从甲 乙两组中共抽取3名工人进行技术考核 则从甲组抽取2名工人 乙组抽取1名工人 2 记A表示事件 从甲组抽取的工人中恰有1名女工人 则P A 3 X的可能取值为0 1 2 3 Ai表示事件 从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人 i 0 1 2 B表示事件 从乙组抽取的是1名男工人 Ai与B独立 i 0 1 2 P X 0 P A0 P A0 P P X 1 P A0 B A1 P A0 P B P A1 P P X 3 P A2 B P A2 P B P X 2 1 P X 0 P X 1 P X 3 故X的分布列为 E X 0 P X 0 1 P X 1 2 P X 2 3 P X 3 0123