2．选择题的作答每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅锯鳗鲮詣鋃陉蛮苎覺藍驳驂签拋敘睑绑。
3．非选择题的作答用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒東戇鳖納们怿碩洒強缦骟飴顢歡窃緞駔蚂。
第Ⅰ卷 一、选择题本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A．B．C．，D． 【解析】解， ， 则 【答案】． 2．已知向量，，若，则 A．1B．C．D． 【解析】解，， 若，则， ， 【答案】． 3．已知是第二象限角，若，则 A．B．C．D． 【解析】解是第二象限角，若 可得，所以． 【答案】． 4．等差数列的前项和为，若与的等差中项为10，则 A．200B．100C．50D．25 【解析】解由等差数列的性质可得， 则． 【答案】． 5．已知、是不重合的直线，、是不重合的平面，有下列命题 ①若，，则；
②若，，则；
③若，，则且；
④若，，则． 其中真命题的个数是 A．0B．1C．2D．3 【解析】解①若，，则与平行或异面，故不正确；
②若，，则与可能相交或平行，故不正确；
③若，，则且，也可能在平面内，故不正确；
④若，，则，垂直与同一直线的两平面平行，故正确 【答案】． 6．执行如图所示的程序框图，则输出的值是 A．11B．9C．7D．5 【解析】解模拟程序的运行，可得 ， 不满足条件，执行循环体，， 不满足条件，执行循环体，， 不满足条件，执行循环体，， 此时，满足条件，退出循环，输出的值为7． 【答案】． 7．在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，且，为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为 酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭钯詢鳕驄粪讳鱸况閫硯浈颡閿审詔頃緯贾。
A．B．C．D． 【解析】解以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， 设， 则，0，，，0，，，0，，，1，，， 则，，1，， 设异面直线与夹角为， 则． 异面直线与夹角的余弦值为． 【答案】． 8．设且，则“”是“”的 A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【解析】解充分性当时，“”时“”故充分性不成立． 必要性当时，若，则，故充分性不成立． 综上，“”是“”的既不充分也不必要条件． 【答案】． 9．某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为边长为1的等腰直角三角形，则此空间几何体的表面积是 彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔肤亿鳔简闷鼋缔鋃耧泞蹤頓鍥義锥柽鳗铟。
A．B．C．D． 【解析】解由题意可知几何体的直观图如图是正方体的一部分，三棱锥，正方体的棱长为1， 所以几何体的表面积为． 【答案】． 10．程序框图如图，若输入的，则输出的结果为 A．B．1010C．D．1012 【解析】解模拟程序的运行，可得 ，， 执行循环体，，， 满足条件，执行循环体，，， 满足条件，执行循环体，，， 满足条件，执行循环体，，， 由于，观察规律可知， 满足条件，执行循环体，，， 此时，不满足条件，退出循环，输出． 【答案】． 11．将三颗骰子各掷一次，设事件 “三个点数互不相同”， “至多出现一个奇数”，则概率等于 謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍杂篓鳐驱數硯侖葒屜懣勻雏鉚預齒贡缢颔。
A．B．C．D． 【解析】解将三颗骰子各掷一次，设事件 “三个点数互不相同”， “至多出现一个奇数”， 基本事件总数， 包含的基本事件个数， 概率． 【答案】． 12．已知定义在上的连续可导函数无极值，且，，若 在上与函数的单调性相同，则实数的取值范围是 A．，B．，C．，D．， 【解析】解定义在上的连续可导函数无极值，方程无解，即为上的单调函数， ， 则为定值， 设，则，易知为上的减函数， ， ， 又与的单调性相同， 在上单调递减，则当，恒成立， 即， 当，则，， 则当时，取得最大值2，此时取得最小值， 即， 即实数的取值范围是，， 【答案】． 第Ⅱ卷 二、填空题本大题共4小题，每小题5分． 13．函数在处切线方程是 ． 【解析】解函数的导数为， 切线的斜率（1）， 切点坐标为， 切线方程为，即． 故答案为． 14．已知是抛物线上一动点，定点，过点作轴于点，则的最小值是 ． 【解析】解抛物线的焦点坐标， 是抛物线上一动点，定点，过点作轴于点， 则的最小值，就是的距离减去轴与准线方程的距离， 可得最小值为． 故答案为2． 15．设是数列的前项和，点，在直线上，则数列的前项和为 ． 【解析】解点，在直线上，． ． ． 则数列的前项和． 故答案为． 16．已知球的内接圆锥体积为，其底面半径为1，则球的表面积为 ． 【解析】解由圆锥体积为，其底面半径为1， 可求得圆锥的高为2， 设球半径为，可得方程 ， 解得， ， 故答案为． 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知，，分别是的三个内角，，的对边，若，角是最小的内角，且． （Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若的面积为42，求的值． 【解析】（本题满分为12分） 解（Ⅰ）由、及正弦定理可得， 由于，整理可得， 又， 因此得． （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 又的面积为42，且， 从而有，解得， 又角是最小的内角， 所以，且，得， 由余弦定理得，即． 18．“微信运动”是手机推出的多款健康运动软件中的一款，大学生的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别、步，（说明“”表示“大于或等于0，小于2000”，以下同理），、步，、步，、步，、步，且、、三种类别的人数比例为，将统计结果绘制如图所示的柱形图；
男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．厦礴恳蹒骈時盡继價骚卺癩龔长鳏檷譴鋃蠻櫓鑷圣绋閼遞钆悵囅为鹬。
若某人一天的走路步数大于或等于8000，则被系统认定为“超越者”，否则被系统认定为“参与者”． （Ⅰ）若以大学生抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在的人数；
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（Ⅱ）若在大学生该天抽取的步数在的微信好友中，按男女比例分层抽取9人进行身体状况调查，然后再从这9位微信好友中随机抽取4人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率；
鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴縈诘聾諦鳍皑绲讳谧铖處騮戔鏡謾维覦門剛慘。
（Ⅲ）请根据抽取的样本数据完成下面的列联表，并据此判断能否有的把握认为“认定类别”与“性别”有关 参与者 超越者 合计 男 20 女 20 合计 40 附，， 0.10 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【解析】解（Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走步的人数男12人， 女14人，400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走步的人数 约为人；
（Ⅱ）该天抽取的步数在的人数男8人，女4人， 再按男女比例分层抽取9人，则其中男6人，女3人 所求概率（或 （Ⅲ）完成列联表 参与者 超越者 合计 男 12 8 20 女 16 4 20 合计 28 12 40 计算， 因为，所以没有理由认为“认定类别”与“性别”有关， 即“认定类别”与“性别”无关 19．如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点． （Ⅰ）求证平面；
（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值． 【解析】证明（Ⅰ）取的中点，连结，，在中， 因为、分别为，的中点，所以且， 又为的中点，， 所以且，即且， 故四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面． 解（Ⅱ）取中点，连结、， 则，平面， 以为原点，分别以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系 则有， 得 设平面的一个法向量为，， 则，即，令，则，2，， 设与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 20．已知点在椭圆上，，是长轴的两个端点，且． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知点，过点的直线与椭圆的另一个交点为，若点总在以为直径的圆内，求直线的斜率的取值范围． 【解析】解（Ⅰ）由已知可得，，，解得， 又点在椭圆上，即，解得， 所以椭圆的标准方程为；
（Ⅱ）设，，当直线垂直于轴时，点在以为直径的圆上，不合题意， 因此设直线的方程为， 代入椭圆方程消去得， 则有，即，， 且判别式△，即，又点总在以为直径的圆内， 所以必有，即有，，， 将，代入得，解得， 所以满足条件的直线的斜率的取值范围是． 21．已知函数． （Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）证明为自然对数的底）恒成立． 【解析】（Ⅰ）解函数的定义域为， 当时，恒成立，所以在内单调递增；
当时，令，得，所以当时，单调递增；
当时，单调递减， 综上所述，当时，在内单调递增；
当时，在内单调递增，在内单调递减 （Ⅱ）证明由（1）可知，当时， 特别地，取，有，即， 所以（当且仅当时等号成立），因此，要证恒成立， 只要证明在上恒成立即可 设，则， 当时，单调递减， 当时单调递增． 故当时，（1），即在上恒成立 因此，有，又因为两个等号不能同时成立， 所以有恒成立 或令，则， 再令，则， 由，（2）知，存在， 使得，得， 由可证，进而得证． ※考生注意请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4坐标系与参数方程] 22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为为参数）．籟丛妈羥为贍偾蛏练淨槠挞曉养鳌顿顾鼋徹脸鋪闳讧锷詔濾铩择觎測。
（Ⅰ）求曲线的参数方程和直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设为曲线上在第二象限内的点，且在点处的切线与直线平行，求点的直角坐标． 【解析】解（Ⅰ）由已知得，得，即， 所以的参数方程为为参数） 直线的直角坐标方程为 （Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线是以为圆心、半径为1的圆， 设点，因为点在第二象限， 所以直线的斜率 得，得点的直角坐标为， [选修4-5不等式选讲] 23．已知函数． （Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）若，恒成立，求实数的取值范围． 【解析】解（Ⅰ）时，， 当时，，解得；
当时，，解集为；
当时，，解得；
综上当时，不等式的解集为 （Ⅱ）显然有，由绝对值的三角不等式得 所以，解得， 即，