第八章,多元函数微积分学2011

第八章多元函数微积分学 8 1预备知识 8 2多元函数的概念 8 3偏导数与全微分 8 5多元函数的极值与最值 8 6二重积分 8 4复合函数与隐函数微分法 区域 1 邻域 连通的开集称为区域或开区域 2 区域 8 1预备知识 平面方程 一般式 球面方程 标准式 练习一 练习 球心为 3 4 5 半径为6的球面方 程为 8 2多元函数的概念 一 多元函数的定义二 二元函数的极限三 二元函数的连续性 一 多元函数的定义 定义 类似地可定义三元及三元以上函数 函数的两要素是定义域和对应法则 要会求函数的定义域 1 求下列函数的定义域 练习二 则 2 设 二 二元函数的极限 说明 1 定义中的方式是任意的 2 二元函数的极限也叫二重极限 3 二元函数的极限运算法则与一元函数类似 定义 设二元函数 定义在D上 如果函数在D上各点处都连续 则称此函数在D上 如果存在 否则称为不连续 此时 称为间断点 则称二元函数 连续 连续 三 二元函数的连续性 8 3偏导数与全微分 一 偏导数二 全微分 一 偏导数 重点 1 解 例1求 在点 处的偏导数 例2求函数 的偏导数 解 2 高阶偏导数 纯偏导 混合偏导 定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 解 例3设 求 例4 求函数 解 的二阶偏导数 二 全微分概念 例5 计算函数 在点 2 1 处的全微分 解 例6 计算函数 的全微分 解 练习三 求 1 设 2 已知 求 3 求 设 思考 多元函数连续 可导 可微三者之间的关系 多元函数连续 可导 可微的关系 8 4复合函数与隐函数微分法 一 链锁法则二 隐函数求导法则 一 复合函数求导法则 链式法则 重点 以上公式中的导数称为全导数 解 解 例9 设 求全导数 解 练习四 练习四答案 隐函数的求导公式 二 隐函数的求导法则 重点 解 令 则 解 令 则 1 设 求 练习四 2 求由方程 确定的隐函数 的偏导数 8 5多元函数的极值与最值 一 多元函数的极值与最值二 条件极值 重点 1 二元函数极值的定义 一 多元函数的极值与最值 1 2 3 例1 例 例 2 多元函数取得极值的条件 仿照一元函数 凡能使一阶偏导数同时为零的点 均称为函数的驻点 驻点 极值点 问题 如何判定一个驻点是否为极值点 注意 练习五 3 最值应用问题 函数f在闭域上连续 函数f在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点 边界上的最值点 特别 当区域内部最值存在 且只有一个极值点P时 为极小值 为最小值 大 大 依据 二 条件极值 极值问题 无条件极值 条件极值 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外 还有其它条件限制 练习六 例1 设某厂生产两产品 产量为总利润为已知这两种产品每千件均消耗原料2000公斤 现有原料12000公斤 问两种产品各生产多少时 总利润达最大 3 8 2 2 例2 设企业在雇用名技术人员 名非技术人员时 产品的产量若企业只能雇佣230人 那么该雇佣多少技术人员 多少非技术人员才能使产量最大 90 140