第三十四讲 基本不等式及其应用 班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内． 1．“a0且b0”是“≥”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案A 2．设a、b∈R＋，且a＋b＝4，则有 A.≥ B.＋≥1 C.≥2 D.≥ 解析由a，b∈R*，且a＋b＝4得2≤4⇔≤2，≥，又由≤＝，即≤.由此可知，A，C，D都不正确，则只有B正确，故选B. 答案B 3．设0c0，则2a2＋＋－10ac＋25c2的最小值是 A．2 B．4 C．2 D．5 解析原式＝a2＋＋＋a2－10ac＋25c2＝a2＋＋a－5c2≥a2＋＋0≥4，当且仅当b＝a－b、a＝5c且a2＝，即a＝2b＝5c＝时“＝”都成立，故原式的最小值为4，选B. 答案B 6．已知x0，y0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是 A．3 B．4 C. D. 解析依题意得x＋12y＋1＝9，x＋1＋2y＋1≥2＝6，x＋2y≥4，当且仅当x＋1＝2y＋1，即x＝2，y＝1时取等号，故x＋2y的最小值是4，选B. 答案B 二、填空题本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上． 7．在“＋＝1”中的“__”处分别填上一个自然数，使它们的和最小，并求出其和的最小值．________ 分析.本题条件、结论皆开放，可设所要填写的两数分别为x，y，再利用均值定理去探索． 解析设这两个自然数分别为x，y， 则有x＋y＝x＋y＝13＋＋≥13＋2＝25， 当且仅当＝，且＋＝1，即x＝10，y＝15时等号成立，故分别填10和15，其和的最小值为25. 答案10 15 25 评析本题解答的关键是将已知中的“1”代换．应用均值定理求函数的最值时，必须注意“一正二定三相等”． 8．若a，b是正常数，a≠b，x，y∈0，＋∞，则＋≥，当且仅当＝时取等号．利用以上结论，可以得到函数fx＝＋x∈的最小值为________，取最小值时x的值为________． 解析fx＝＋≥＝25. 当且仅当＝，即x＝时上式取最小值，即[fxmin]＝25. 答案25 9．精选考题重庆已知t0，则函数y＝的最小值为________． 解析依题意得y＝t＋－4≥2－4＝－2，此时t＝1，即函数y＝t0的最小值是－2. 答案－2 10．精选考题浙江若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________． 解析由基本不等式得xy≥2＋6，令＝t得不等式t2－2t－6≥0，解得t≤－舍去或者t≥3，故xy的最小值为18. 答案18 三、解答题本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤． 11．设a、b、c为正数，求证＋＋≥a＋b＋c 分析通过观察可得 ＝c2，＝b2，＝a2 从而利用基本不等式即可． 证明∵a、b、c均是正数 ∴，，均是正数 ∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b 三式相加得2≥2a＋b＋c ∴＋＋≥a＋b＋c 评析先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质，注意限制条件通过相加乘合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法． 12．设函数fx＝x＋，x∈[0，＋∞． 1当a＝2时，求函数fx的最小值；
2当00.所以fx≥2－1. 当且仅当x＋1＝，即x＝－1时，fx取得最小值，最小值为2－1. 2因为fx＝x＋＝x＋1＋－1，此时再利用1的方法，等号取不到 设x1x2≥0，则fx1－fx2＝x1＋－x2－＝x1－x2. 由于x1x2≥0，所以x1－x20，x1＋11，x2＋1≥1.所以x1＋1x2＋11.而0fx2，所以fx在[0，＋∞上单调递增． 所以fxmin＝f0＝a. 评析2问中因等号不能取到，所以考虑使用函数单调性，由此提醒我们时刻注意三个条件，在变形时拆分项及配凑因式是常用的方法． 13．某厂为适应市场需求，投入98万元引进世界先进设备，并马上投入生产，第一年需各种费用12万元，从第二年开始，每年所需费用会比上一年增加4万元．而每年因引入该设备可获得年利润为50万元．请你根据以上数据，解决以下问题 1引进该设备多少年后，开始盈利 2引进该设备若干年后，有两种处理方案 第一种年平均利润达到最大值时，以26万元的价格卖出． 第二种盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出．问哪种方案较为合算 解开始盈利就是指所获利润大于投资总数，据此建立不等式求解；
所谓方案最合理，就是指卖出设备时的年平均利润较大，因此只需将两种方案的年平均利润分别求出，进行比较即可． 1设引进该设备x年后开始盈利．盈利额为y万元． 则y＝50 x－98－＝－2x2＋40 x－98，令y0，得10－x10＋，∵x∈N*，∴3≤x≤17.即引进该设备三年后开始盈利；
2第一种年平均盈利为，＝－2x－＋40≤－2＋40＝12，当且仅当2x＝，即x＝7时，年平均利润最大，共盈利127＋26＝110万元． 第二种盈利总额y＝－2x－102＋102，当x＝10时，取得最大值102，即经过10年盈利总额最大，共计盈利102＋8＝110万元两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算． 评析用基本不等式解决实际问题时，一般都是求某个量的最值，这时，先把要求最值的量表示为某个变量的函数，再利用基本不等式求该函数的最值，求最值时，仍要满足前面所说的三个求最值的要求．有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时，这几个变量满足某个关系式，这时，问题变成了一个条件最值，可用前面的求条件最值的方法求最值．