误是没有选出水平最高的两人，错误地认为这种淘汰赛最后的两人就是水平最高的两人，实际上第二名有可能在第一轮或第二轮就被第一名淘汰了。
【正确解答】 先将8人分成4对进行比赛，胜者进入第二轮，需要4场比赛，将进入第二轮的四人分成2对进行比赛，胜者进入第三桦，需要2场比赛，进入第三轮的2人进行比赛，胜者为第一名，需一场比赛；
将第一轮、第二轮、第三轮被第一名淘汰的选手共3人决出第一名，需2场比赛。∴至少需要42129场比赛。
3．（2020精选模拟）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有_________种（用数字作答）。
【错误解答】 因为每一步都有两种可能，所以共有2532种方法，又由于这32种方法中质点落在（3，0）与不在（3，0）的可能相同，∴质点不同的运动方法共有16种，填16。
【错解分析】质点落在（3，0）与不在（3，0）的可能相同是错误的，错误的原因是分析问题的能力较差，没有转化的思想，也没有分类讨论的思想。
【正确解答】 解法一如图12-1，A（1，0）、B（2，0）、C（3，0）、D（4，0）、E（-1，0），依题意跳动4次后，只有在B点或D点可跳到C点，画出树图，可得结果为5。
解法二设向右跳一次记为1，向左跳一次记为-1，需要其和为3，那么应为4个1，1个-1，∴质点不同的运动方法共有C155种。
4．（2020精选模拟）从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6、8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有__________个（用数字作答）。
【错误解答】 从难从1、3、5、7中任取两个数字有C24种方法，从0、2、4、6、8中任取两个数字有C25种方法，能被5带队的数有两类（1）0在末位，有A33种排法；
（2）5在末位，有C12A224种排法，依据分步和分类计数原理，共有（C24C25）（A334）160。∴填160。
【错解分析】将问题分成两步，这是不错的，但第2步认为5和0一定被选出来了这是错误的，没有分类讨论的思想是错误的根源。
【正确解答】 将问题分成三类（1）含数字5，不含数字0，则选元素的过程有C13C24种方法，将5排在末位，则组数的过程有A33种方法，依据分步计数原理得这一类共有C13C24A33108个；
（2）含数字0，不含数字5，则选元素的过程有C23C14种方法，将0排在末位，则组数过程有A33种方法，这一类共有C23C14A3372个；
（3）含数字0，也含数字5，则选元素的过程有C13C14，若0在末位，则组数过程有A33种方法，若0不在末位，则组数过程有C12A22种∴种这类共有C13C14（A33C12A22）120个。根据分类计数原理，其中能被5整除的四位数共有10872120300个。
【特别提醒】 两个基本原理是学习排列、组合的重要基础，解决两个原理的应用问题首先要明确所完成的事情是什么，然后再分析每一种做法，事情是否完成，从而区分分类计数原理和分步计数原理，运用分类计数原理时，要恰当分类，做到不重复，又不遗漏；
运用分步计数原理时，关键是分好步，需要分析要分几步才能完成。一个比较复杂的问题一般遵循先分类后分步的解题步骤，平时应注意养成一题从多角度来解的习惯。
【变式训练】 1 设集合P{x,1},Q{y,1,2},其中x,y∈{1，2，3，9}，且PQ。把满足上述条件的一对有序整数对（x,y）作为一个点的坐标，则这样的点个数是（ ） A．9个 B．14个 C．15个 D．21个 答案 B 解析∵PQ，∴x2或xy，当x2时，y有3，4，，9等7个值，此时点的个数是7个；
当xy时，xy有3，4，9等7个值，此时点的个数是7个，∴这样的点的个数是14个，∴选B 2 用五个数字0、1、1、2、2组成的五位数总共有 （ ） A．12个 B．24个 C．30个 D．48个 ，∴不同的报考方法数为90540． 易错点 2 排列组合 1．（2020精选模拟）用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是______________. 【错误解答】 将两个奇数数字排好有A22种方法，有三个空档，由于0不能在首位，∴偶数数字的排法有2A22种，∴不同的五位数有2A22A228个∴填8。
【错解分析】对相邻问题的一般解法不熟悉，错解中的8个符合题意，但是遗漏了很多情况。
【正确解答】 分两种情况（1）若0夹在两个奇数之间，将这三个数字看成一个整体与剩下的两个偶数一起排列有A33种，考虑到1与3可以互换位置所以这种情况有A33A22 12个；
（2）若2、4中一个夹在两个奇数数字之间，同上的想法，共有C12C12A22A2216个，∴满足条件的五个数的个数是121628个。
2．（2020精选模拟）将标号为1、2， 10的10个数放入标号为1，2，10的10个盒子内，每一个盒内放一个球茎，恰在此时好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为 （ ） A．120 B．240 C．360 D．720 【错误解答】 第一步考虑哪三个球的标号与其所在盒子的标号不一致，有C310120种；
第二步选出来的3个球与其盒子的标号不一致，用间接解法，总数A33，不符合题意的有三个盒子与其球的标号一致，有1种可能，两个盒子与其球的标号一致，有1种可能，一个盒子与其球的标号一致，有3种可能，∴这一步的方法数为A33-1-1-31，根据分步计数原理，放入方法种数为1201120。选A。
【错解分析】第二步中有错误，实际上两个盒子的标号与球的标号一致，就一定是三个能用陋板法。如若将A中4个元素记为a、b、c、d 、B中的3个元素记为A、B、C，某一个映射中a,d都与A对应，用隔板法是做不到的。后一种解法的错误是重复，如a,d都与A对应，b,c分别与B、C对应这个映射算了两次。
【正确解答】 依题意，A中肯定有某两元素与B中的一个元素对应，先在4个元素中选2个，当作一整体与其他两元素一起看作3个元素与B中的元素对应，∴满足条件的映射有C24A3436个。
4．．（2020精选模拟）4名男同学排好有A44种方法，再在5个空档处将4名女生插进去，有A45种方法。∴不同的排法数为A44A452880 【错解分析】这2880种排法中有的排法男生是相邻的。如女、男、女、男、男、女、男、女是2880中的一种，但其中有两男生相邻。
【正确解答】 先将4名男同学排好有A44种方法，再将女生插进去，有2A44种方法，所以不同的排法种数为A442A441152种。
【变式训练】 1 集合AB{1，2，3，4，5}，从A到B的映射，满足（1）f1≤f2≤f3≤f4≤f5;2f的象只有2个。则这样的映射有_______个. z分到的1的个数分别减去1个，这样xyz10，且x、y、z∈N.∴方程的解有66组．∴填66． 3 已知m、n∈{0,1,2,3,4,5,6},则方程C6mx2Cn6y21表示不同的椭圆的个数是__________. 答案12 解析∵x2y21表示椭圆，∵m≠n，且mn≠6．∴将0，1，2，3，4，5，6分成0，6，1，5，2， 4，3，四组．m，n的取值相当于从4个不同的元素中选2个．∴不同的椭圆的个数是12．∴填12． 易错点 3 二项式定理 1．（2020精选模拟）在x-a10的展开式中，x7的系数是15，则实数a_____________。
【错误解答】 ∵x-a10的展开式中x7的系数为C710（-a）7，依题意，∴有C710（-a）715,即a7-,∴a 【错解分析】二项式展开式的通项理解记忆有错误，x-a10的展开式中x7的系数应为C310（-a）3. 【正确解答】 （x-a）10的展开式中x7的系数为C310（-a）3,依题意有C310（-a）315,即a3-,∴a-. ∴本题答案为a- 2．（2020精选模拟）在（1-x）51-x61-x71-x8的展开式中，含x3的项的系数是 （ ） A．74 B．121 C．-74 D．-121 【错误解答】 ∵（1-x）5、1-x6、1-x7、1-x8的展开式中，含x3的项的系数分别为C35、C36、C37、C38， ∴（1-x）51-x61-x71-x8的展开式中含x3的项的系数为C35C36C37C38121。∴选B。
【错解分析】在求某特定项的系数时，没有注意符号，实际上（1-x）5、1-x6、1-x7、1-x8的展开式子中含x3的项的系数分别为-C35、-C36、-C37、-C38，∴（1-x）51-x61-x71-x8的展开式中含x3的项的系数为-（C35C36C37C38）-121。
∴选D。
[正解二] ∴（1-x）51-x61-x71-x8∴展开式中含x3的项的系数为（1-x）5,1-x9的展开式中含x4的项的系数，为C45-C49-121。∴选D。
3．（2x-）9的展开式中，常数项为____________（用数字作答） 【错误解答】 （2x-）9的展开式的通项为 ∵，解得r6。
∴常数项为第7项，常数项为C69C3984。∴填84。
【错解分析】在写二项式的展开式的通项时，疏忽了系数和符号。实际上，（2x-）9的展开式中，通项应为 【正确解答】 （2x-）9的展开式的通项为 ∴常数为第7项，为23（-1）6C698C39672。∴填672。
4．（2020精选模拟）设n∈N*,则C1nC2n6C3n62Cnn6n-1____________. 【错误解答】 C1nC2n6C3n62Cnn6n-1为（16）n的展开式，缺少C0n这一项，∴原式为7n-1. ∴填7n-1. 【错解分析】（16）n的展开式应为C0nC1n6C2n62Cnn6n,原式中6的次数与之不相应。
【正确解答】 C1nC2n6C3n62Cnn6n-1 （） 【特别提醒】 二项式定理的核心是通项公式，求二项展开式中的特定项或特定项的系数通常中从通项公式入手的，所以对通项的理解、记忆和应用是重点，二项式定