四川省成都外国语学校2020届高三数学上学期期中试题 文 考试时间120分钟 满分150分 一.选择题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案集中填写在答题卷上. 1.设集合，集合，则（ ） A.B.C.D. 2. 的值为（ ） A.B.C.D. 3.已知是虚数单位，则复数的实部和虚部分别是（ ） A.,B.,C.,D., 4.设，向量，，且，则（ ） A.B.C.D. 5.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（ ） 注90后指1990年及以后出生，80后指年之间出生，80前指1979年及以前出生． A.互联网行业从业人员中90后占一半以上 B.互联网行业中从事技术岗位人数超过总人数的 C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多 D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 6.已知函数，则（ ） A.B.C. D. 7.已知,,,则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8.函数的部分图象如右图， 则（ ） A. B. C. D. 9.大衍数列,来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于 解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过 程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学 史上第一道数列题. 其规律是偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号 平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50， ，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个 判断框中，可以先后填入 A.是偶数， B.是奇数， C.是偶数， D.是奇数， 10.在中,内角,,的对边分别为,,,其中,,若,则的周长为（ ） A.3B.C.D. 11.已知双曲线的左、右焦点分别为,,过作圆的切线,交双曲线右支于点,若,则双曲线的离心率为（ ） A.B.2C.D. 12.已知偶函数满足,且当时,,关于的不等式在区间上有且只有个整数解,则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二.填空题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填写在答题卷上. 13.设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程 为 ▲ ． 14.已知实数，满足不等式组且最大值为 ▲ . 15.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半径为 ▲ ． 16.设为数列的前项和，已知， ， 则 ▲ ， ▲ . 三.解答题共6题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.请将解答过程写在答题卷相应题号的下面. 17.本小题满分12分已知数列的前项和． 1求数列的通项公式；
2若，求数列的前项和． 18.本小题满分12分 自由购是一种通过自助结算购物的形式．某大型超市为调查顾客自由购的使用情况，随机抽取了100人，调查结果整理如下 20以下 70以上 使用人数 3 12 17 6 4 2 0 未使用人数 0 0 3 14 36 3 0 1现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；
2从被抽取的年龄在使用的自由购顾客中,随机抽取2人进一步了解情况,求这2人年龄都在的概率；
3为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋 19. 本小题满分12分 如图,在四棱锥中,底面为正方形,为等边三角形,平面平面. 1证明平面平面；
2若,为线段的中点,求三棱锥的体积. 20. 本小题满分12分已知椭圆过点． 1求椭圆的方程，并求其离心率；
2过点作轴的垂线，设点为第四象限内一点且在椭圆上（点不在直线上），点关于的对称点为，直线与交于另一点．设为原点，判断直线与直线的位置关系，并说明理由． 21. 本小题满分12分设函数． 1求函数的单调区间；
2记函数的最小值为，证明． 22. 本小题满分10分在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为（,为参数），以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线经过点,曲线的极坐标方程为． 1求曲线的极坐标方程；
2若,是曲线上两点，求的值． 成都外国语学校19-20学年度上期高2020级期中考试 数学试题文答案 一.选择题 1-12 BACAD DBADD AB 二.填空题 13. 14. 15. 16. 三.解答题 17． 1因为，当时，， 两式相减得，因为也满足，综上． 2， ． 18．1随机抽取的100名顾客中，年龄在且未使用自由购的有人， 所以随机抽取一名顾客，该顾客年龄在且未参加自由购的概率估计为． （2）设事件为“这2人年龄都在”．被抽取的年龄在的4人分别记为，，，，被抽取的年龄在的2人分别记为，， 从被抽取的年龄在的自由购顾客中随机抽取2人，共包含15个基本事件，分别为，，，，，，，，，，，，，，， 事件包含6个基本事件，分别为，，，，，，则． （3）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有人， 所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为． 19.证明1取的中点，连结，因为为等边三角形，所以. 又因为平面，平面平面，平面平面， 所以平面. 因为平面， 所以. 因为底面为正方形，所以. 因为， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面. 2由1得平面， 所以到平面的距离. 因为底面为正方形， 所以. 又因为平面，平面， 所以平面. 所以，两点到平面的距离相等，均为. 又为线段的中点，所以到平面的距离. 由1知，平面，因为平面，所以， 所以. 20.1由椭圆方程椭圆过点，可得， ∴，∴椭圆的方程为，离心率． （2）直线与直线平行．证明如下设直线，， 设点的坐标为，， 由得， ∴，∴，同理，∴， 由，，有， ∵在第四象限，∴，且不在直线上．∴， 又，故，∴直线与直线平行． 21. 1显然的定义域为． ． ∵，， ∴若，，此时，在上单调递减；
若，，此时，在上单调递增；
综上所述在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）知， 即． 要证，即证明，即证明， 令，则只需证明， ∵，且， ∴当，，此时，在上单调递减；
当，，此时，在上单调递增， ∴． ∴．∴． 22.1将的参数方程化为普通方程得 由，得的极坐标方程为 将点代入中得，解得 代入的极坐标方程整理可得 的极坐标方程为 2将点，代入曲线的极坐标方程得 ，