吉林省长春市2020届高三质量监测（四模）数学（理科）试题（PDF版含答案）

理科数学试题第 1 页共 4 页长春市长春市 2020 届高三质量监测四届高三质量监测四理科数学本试卷共 4 页考试结束后将答题卡交回注意事项 1 答题前考生先将自己的姓名准考证号码填写清楚将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区 2 选择题必须使用 2B 铅笔填涂非选择题必须使用 0 5 毫米黑色字迹的签字笔书写字体工整笔迹清楚 3 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答超出答题区域书写的答案无效在草稿纸试卷上答题无效 4 作图可先使用铅笔画出确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑 5 保持卡面清洁不折叠不弄破弄皱不使用涂改液修正带刮纸刀一选择题本题共 12 小题每小题 5 分共 60 分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1 设集合 2 1 Ax x 0 Bx x 则 R AB A 1 x x B 1 x x C 1 01 x xx 或 D 1 01 x xx 或 2 在等比数列 n a中 3 3a 6 6a 则 9 a A 1 9 B 1 12 C 9 D 12 3 设复数izxy x y R 下列说法正确的是 A z的虚部是i y B 22 zz C 若0 x 则复数z为纯虚数 D 若z满足 i 1z 则z在复平面内对应点 x y的轨迹是圆 4 树立劳动观念对人的健康成长至关重要某实践小组共有 4 名男生 2 名女生现从中选出 4 人参加校园植树活动其中至少有一名女生的选法共有 A 8 种 B 9 种 C 12 种 D 14 种 5 若 1 sin 83 则sin 2 4 A 2 9 B 2 9 C 7 9 D 7 9 6 田径比赛跳高项目中在横杆高度设定后运动员有三次试跳机会只要有一次试跳成功即完成本轮比赛在某学校运动会跳高决赛中某跳高运动员成功越过现有高度即可成为本次比赛的冠军结合平时训练数据每次试跳他能成功越过这个高度的概率为 0 8 每次试跳之间互不影响则本次比赛他获得冠军的概率是 A 0 832 B 0 920 C 0 960 D 0 992 理科数学试题第 2 页共 4 页 7 已知 5 log 2a 0 5 log0 2b ln ln2 c 则a b c的大小关系是 A abc B acb C bac D cab 8 已知直线a和平面有如下关系 a a 则下列命题为真的是 A B C D 9 如图为测量某公园内湖岸边 A B 两处的距离一无人机在空中 P 点处测得 A B 的俯角分别为此时无人机的高度为h 则AB的距离为 A 22 112cos sinsinsinsin h B 22 112cos sinsinsinsin h C 22 112cos coscoscoscos h D 22 112cos coscoscoscos h 10 过抛物线 2 2C xpy 0p 的焦点F作直线与该抛物线交于A B两点若 3 AFBF O为坐标原点则 AF OF A 4 3 B 3 4 C 4 D 5 4 11 函数 sin f xx 的部分图象如图中实线所示图中的圆C与 f x的图象交于 M N两点且M在y轴上则下列说法中正确的是函数 f x的图象关于点 4 0 3 成中心对称函数 f x在 11 26 上单调递增圆C的面积为 31 36 A B C D 12 函数 2 mxmx f xeexmx m R 的图象在点 11 A xf x 11 Bxfx 处两条切线的交点 00 P xy一定满足 A 0 0 x B 0 xm C 0 0y D 0 ym 1 理科数学试题第 3 页共 4 页二填空题本题共 4 小题每小题 5 分共 20 分 13 已知双曲线 22 22 1 xy ab 0 0ab 的离心率为 2 则双曲线的渐近线方程为 14 执行如图所示的程序框图若输入 1 3 t 则输出 s的取值范围是 15 已知向量 0 1 AB 7AC 1AB BC 则 ABC 面积为 16 已知正方体 1111 ABCDA BC D 的棱长为2 点MN 分别是棱BC 1 CC的中点则二面角CAMN 的余弦值为若动点P在正方形 11 BCC B 包括边界内运动且 1 PA 平面AMN 则线段 1 PA的长度范围是本小题第一空2分第二空3分三解答题共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤第 17 21 题为必考题每个试题考生都必须作答第 22 23 题为选考题考生根据要求作答一必考题共 60 分 17 12分已知数列 n a是等比数列且公比q不等于1 数列 n b满足2 n b n a 求证数列 n b是等差数列若 1 2a 324 32aaa 求数列 21 1 log nn ba 的前n项和 n S 18 12分如图四棱锥PABCD 中底面ABCD为梯形 ABDC 90BAD 点E为PB的中点且 224CDADAB 点F在CD上且 1 3 DFFC 求证 EF 平面PAD 若平面PAD 平面ABCD PAPD 且PAPD 求直线PA与平面PBF 所成角的正弦值 19 12分已知椭圆 2 2 1 2 x Cy 与x轴正半轴交于点A 与y轴交于B C两点求过 A B C三点的圆E的方程若O为坐标原点直线l与椭圆C和中的圆E分别相切于点P和点Q P Q不重合求直线OP与直线EQ的斜率之积 A D B C E F P D1C1 B1 A1 N M C D AB P 输入开始 t 结束否是 1 t 1t se 3 logst 输出s 理科数学试题第 4 页共 4 页 20 12分武汉市掀起了轰轰烈烈的十日大会战要在10天之内对武汉市民做一次全员检测彻底摸清武汉市的详细情况某医院为筛查冠状病毒需要检验血液是否为阳性现有1000 n N 份血液样本有以下两种检验方式方案将每个人的血分别化验这时需要验1000次方案按k个人一组进行随机分组把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验如果每个人的血均为阴性则验出的结果呈阴性这k个人的血就只需检验一次这时认为每个人的血化验 1 k 次否则若呈阳性则需对这k个人的血样再分别进行一次化验这样该组k个人的血总共需要化验1k 次假设此次检验中每个人的血样化验呈阳性的概率为p 且这些人之间的试验反应相互独立设方案中某组k个人中每个人的血化验次数为X 求X的分布列设0 1p 试比较方案中 k分别取2 3 4时各需化验的平均总次数并指出在这三种分组情况下相比方案化验次数最多可以减少多少次最后结果四舍五入保留整数 21 12分已知函数 2 ln2 x e f xaxe a R 若函数 f x在 2 e x 处有最大值求a的值当ae 时判断 f x的零点个数并说明理由二选考题共 10 分请考生在 22 23 题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题计分 22 选修4 4 坐标系与参数方程 10 分在平面直角坐标系xOy中曲线 1 C的参数方程为 1 cos sin x y 为参数以坐标原点O为极点 x轴非负半轴为极轴建立极坐标系点A为曲线 1 C上的动点点B在线段OA 的延长线上且满足 8OAOB 点B的轨迹为 2 C 求曲线 1 C 2 C的极坐标方程设点M的极坐标为 3 2 2 求ABM 面积的最小值 23 选修4 5 不等式选讲 10 分已知函数 23 23 f xxx 解不等式 8f x 设x R时 f x的最小值为M 若实数 a b c满足2a bcM 求 222 abc 的最小值 2 理科数学答案第 1 页共 4 页长春市长春市 2020 届高三质量监测四届高三质量监测四理科数学参考答案与评分细则理科数学参考答案与评分细则一选择题本大题共 12 小题每小题 5 分共 60 分 1 B 2 D 3 D 4 D 5 C 6 D 7 D 8 C 9 A 10 A 11 B 12 A 二填空题本大题共 4 小题每小题 5 分 16 题第一空 2 分第二空 3 分共 20 分 13 yx 14 0 1 15 3 2 16 2 3 3 2 5 2 三解答题题号 17 参考答案与评分细则已知数列 n b满足2 n b n a 则 2 log nn ba 1 121222 loglogloglog n nnnn n a bbaaq a 即数列 n b为等差数列 6 分由 1 2a 324 32aaa 可得 23 3 22 22qqq 解得2q 或1q 舍即2n n a 设 21 1111 log 1 1 n nn c ban nnn 即数列 21 1 log nn ba 的前n项和为 1 1 11 n n S nn 12 分题号 18 参考答案与评分细则取PA的中点M 连结DM EM EFDM EFPAD DMPAD 平面平面 6 分取AD中点N BC中点H 连结PN NH PADABCD PNABCD PNAD 平面平面平面又ADNH 以N为原点 NA方向为x轴 NH方向为y轴 NP方向为z轴建立空间坐标系 0 0 1 P 1 0 0 A 1 2 0 B 1 1 0 F 在平面PBF中 1 2 1 BP 2 1 0 BF 则法向量 1 2 3 n 又 1 0 1 PA 42 7 cos 7 214 PA n PA n PAn 即直线PA与平面PBF所成角的正弦值为 2 7 7 12 分理科数学答案第 2 页共 4 页题号 19 参考答案与评分细则点 2 0 A 0 1 B 1 0 C 设点 0 E m 因此可得 22 1 2 mm 2 4 m 即圆E的方程为 22 29 48 xy 4 分由题意可设l的方程为ykxm k存在且0k 与椭圆C联立消去y可得 222 12 4220kxkmxm 由直线l与椭圆C相切可设切点为 00 xy 由判别式0 可得 22 12mk 解得 0 2k x m 0 1 y m 由圆E与直线l相切即圆心到直线的距离等于半径可得 22 4 2889kmkm 因此由 22 22 12 4 2889 mk kmkm 可得 22 1 21 24 km 直线OP的斜率为 1 2 OP k k 直线EQ的斜率 1 EQ k k 综上 2 1 24 2 OPEQ kk k 12 分题号 20 参考答案与评分细则设每个人的血呈阴性反应的概率为q 则1qp 所以k个人的血混合后呈阴性反应的概率为 k q 呈阳性反应的概率为1 k q 依题意可知 11 1X kk 所以 X 的分布列为 X 1 k 1 1 k P k q 1 k q 6 分方案中结合 1 知每个人的平均化验次数为 111 1 1 1 kkk E Xqqq kkk 所以当2k 时 2 1 0 91 0 69 2 E X 此时 1000 人需要化验的总次数为 690 次 3k 时 3 1 0 910 6043 3 E X 此时 1000 人需要化验的总次数为 604 次 4k 时 4 1 0 91 0 5939 4 E X 此时 1000 人需要化验的次数总为 594 次即2k 时化验次数最多 3k 时次数居中 4k 时化验次数最少而采用方案则需化验 1000 次故在这三种分组情况下相比方案当4k 时化验次数最多可以平均减少 1000 594 406 次 12 分 3 理科数学答案第 3 页共 4 页题号 21 参考答案与评分细则 2 ln2 x e f xaxe 0 x 2 2 x e a fxe xe 由条件可知 2 e x 时 0fx 即 22 0 a e ee 解得ae 则 2 ln 2 x e f x 2 2 x e e fxe xe