实数（基础） 【学习目标】 1. 了解无理数和实数的意义；
2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 . 【要点梳理】 【高清课堂389317 立方根、实数，知识要点】 要点一、有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 要点诠释（1）无理数的特征无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式①含类.②看似循环而实质不循环的数，如1.313113111.③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 要点二、实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分 实数 按与0的大小关系分 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 要点三、实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 要点四、实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【典型例题】 类型一、实数概念 1、指出下列各数中的有理数和无理数 【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π是无理数，化简后含π的代数式也是无理数. 【答案与解析】有理数有 无理数有 【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 常见的无理数有三种形式①含类.②看似循环而实质不循环的数，如0.1010010001.③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，，，. 举一反三 【变式】（2015春聊城校级月考）在下列语句中 ①无理数的相反数是无理数；
②一个数的绝对值一定是非负数；
③有理数比无理数小；
④无限小数不一定是无理数． 其中正确的是（ ） A．②③B．②③④C．①②④D．②④ 【答案】C；
解①因为实数包括有理数和无理数，无理数的相反数 不可能式有理数，故本选项正确；
②一个数的绝对值一定≥0，故本选项正确；
③数的大小，和它是有理数还是无理数无关，故本选项是错误的；
④无限循环小数是有理数，故本选项正确． 类型二、实数大小的比较 2、比较和0.5的大小． 【答案与解析】 解作商，得． 因为，即，所以． 【总结升华】根据若，均为正数，则由“，，”分别得到结论“，，，”从而比较两个实数的大小．比较大小的方法有作差法和作商法等，根据具体情况选用适当的方法. 举一反三 【变式】比较大小 【答案】＜；
＞；
＜；
＜；
＜；
＞；
＜. 3、（2015枣庄）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ） A．ac＞bcB．|a﹣b|a﹣bC．﹣a＜﹣b＜cD．﹣a﹣c＞﹣b﹣c 【答案】D；
【解析】 解∵由图可知，a＜b＜0＜c， ∴A、ac＜bc，故A选项错误；
B、∵a＜b， ∴a﹣b＜0， ∴|a﹣b|b﹣a，故B选项错误；
C、∵a＜b＜0， ∴﹣a＞﹣b，故C选项错误；
D、∵﹣a＞﹣b，c＞0， ∴﹣a﹣c＞﹣b﹣c，故D选项正确． 故选D． 【总结升华】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键． 类型三、实数的运算 4、化简 1 2 3 【答案与解析】 解 . 【总结升华】有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 5、若，则________． 【思路点拨】由有限个非负数之和为零，则每个数都应为零可得到方程中，b，c的值. 【答案】3；
【解析】 解由非负数性质可知，即，∴ ． 【总结升华】初中阶段所学的非负数有||，，非负数的和为0，只能每个非负数分别为0 . 举一反三 【变式】已知，求的值． 【答案】 解由已知得，解得． ∴＝.