例2-143 求之值。
解 作配对处理 例2-144 求和 解一 由把倒排，有 相加 得 解二 设集合，注意到 有 为了求得把每一，让它与补集配对，共有对，且每对中均有 于是 这两种解法形式上虽有不同，但本质上是完全一样的，还有一个解法见例2-149。
例2-145 设是给定的实数，证明存在实数使得 这里的表示y的小数部分。
证明 有 知 下面利用这一配对式的结论。设 据抽屉原理①知，必存在，使 取，由上式得 2-7-9 特殊化 特殊化体现了以退求进的思想从一般退到特殊，从复杂退到简单，从抽象退到具体，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论，从高维退到低维，退到保持特征的最简单情况、退到最小独立完全系的情况，先解决特殊性，再归纳、联想、发现一般性。华罗庚先生说，解题时先足够地退到我们最易看清楚问题的地方，认透了、钻深了，然后再上去。
特殊化既是寻找解题方法的方法，又是直接解题的一种方法。
例2-146 已知恒等式 求实数，其中。
解 对取特殊值，当时，有 故有（1） （2） 又取（即比较常数项系数），有 （3） 比较的系数（考虑特殊位置），有（4） 由④得 代入（1），得 代入原式左边，有 故知。
也可以将的值代入（3）、（2）求，但要检验排除增根。
例2-147 已知为常数，，且 求证 是周期函数。
分析 作特殊化探索。求解的困难在于不知道周期，先特殊化，取一个满足条件的特殊函数且，有 但的周期为。
猜想是周期。
证明 由已知有 据此，有 得证为周期函数，且为一个周期。
例2-148 在平面上给定一直线，半径为厘米（是整数）的圆以及在圆内的条长为1厘米的线段。试证在给定的圆内可以作一条和给定直线平行或垂直的弦，它至少与两条给定的线段相交。
分析 特殊化，令，作一个半径为1的圆，在圆内作四条1厘米长的线段，再作一条与已知直线L垂直的直线L’（图2-63） 现从结论入手，设AB∥L并与两条弦相交，则交点在L’上的投影重合，反之，如果四条线段在L或L’上的投影有重合点，则从重合点出发作垂线即可。
由特殊化探索出一个等价命题将给定的线段向已知直线L或L的垂线作投影时，至少有两个投影点重合。
这可以通过长度计算来证实。
证明 设已知直线为L，作L’⊥L，又设条线段为，每一条在L，L’上的投影长为，有。
由 得 从而，两个加项中必有一个不小于厘米，但圆的直径为厘米，故在L或L’的投影中，至少有两条线段的投影相交，过重迭点作L或L’的垂线即为所求。（将表示为三角函数运算更方便） .（例2-51）的求解过程，实质上是对表达式中函数的三个表达式分别取值为 2-7-10 一般化 推进到一般，就是把维数较低或抽象程度较弱的有关问题转化为维数较高、抽象程度较强的问题，通过整体性质或本质关系的考虑，而使问题获得解决，离散的问题可以一般化用连续手段处理，有限的问题可以一般化用数学归纳法处理，由于特殊情况往往涉及一些无关宏旨的细节而掩盖了问题的关键，一般情况则更明确地表达了问题的本质。波利亚说“这看起来矛盾，但当从一个问题过渡到另一个，我们常常看到，新的雄心大的问题比原问题更容易掌握，较多的问题可能比只有一个问题更容易回答，较复杂的定理可能更容易证明，较普遍的问题可能更容易解决。” 希尔伯特还说在解决一个数学问题时，如果我们没有获得成功，原因常常在于我们没有认识到更一般的观点，即眼下要解决的只不够是一连串有关问题的一个环节。
例2-149 求和（例2-144） 解 引进恒等式 对求导 令，得。
这实质是将所面临的问题，放到一个更加波澜壮阔的背景上去考察，当中既有一般化、又有特殊化。
例2-150 1985个点分布在一个圆的圆周上，每个点标上1或-1，一个点称为“好点”，如果从这点开始，依任一方向绕圆周前进到任何一点时，所经过的各数的和都是正的。证明如果标有-1的点数少于662时，圆周上至少有一个好点。
证明 这里662与1985的关系是不清楚的，一般化的过程其实也就是揭示它们内在联系的过程，可以证明更一般性的结论在个点中有个-1时，“好点”一定存在。
（1）时，如图2-64，A、B、C、D标上1，则B、C均为好点。
（2）假设命题当时成立，即个点中有个-1时，必有好点。
对，可任取一个-1，并找出两边距离它最近的两个1，将这3个点一齐去掉，在剩下的个点中有个-1，因而一定有好点，记为P。现将取出的3个点放回原处，因为P不是离所取出的-1最近的点，因而从P出发依圆周两方前进时，必先遇到添回的1，然后再遇到添回的-1，故P仍是好点，这说明，时命题成立。
由数学归纳法得证一般性命题成立，取即得本例成立。
这里一般化的好处是第一，可以使用数学归纳法这个有力工具；
第二归纳假设提供了一个好点，使得顺利过渡到。一般说来，更强的命题提供更强的归纳假设。
例2-151 设，求证是整数。
证明 考虑更一般性的整系数多项式 由 知是偶函数，从而只含的偶次项，得是含的整系数多项式，特别地，取为正整数即，得为整数。
这里，把常数一般化为变数之后，函数性质便成为解决问题的锐利武器。
2-7-11 数字化 数字化的好处是将实际问题转化为数学问题的同时，还将抽象的推理转化为具体的计算。这在例2-33中已见过。
例2-152 今有男女各2n人，围成内外两圈跳舞，每圈各2n人，有男有女，外圈的人面向内，内圈的人面向外，跳舞规则如下每当音乐一起，如面对面者为一男一女，则男的邀请女的跳舞，如果均为男的或均为女的，则鼓掌助兴，曲终时，外圈的人均向左横移一步，如此继续下去，直至外圈的人移动一周。
证明在整个跳舞过程中至少有一次跳舞的人不少于n对。
解 将男人记为1，女人记为-1，外圈的2n个数与内圈的2n个数中有个1，个-1，因此，和 从而 ① 另一方面，当与面对面时， 中的-1的个数表示这时跳舞的对数，如果在整个过程中，每次跳舞的人数均少于n队，那么恒有 从而总和 ② 由①与②矛盾知，至少有一次跳舞的人数不少于n对。
这里还用到整体处理的技巧。
例 2-153 有男孩、女孩共n个围坐在一个圆周上（），若顺序相邻的3人中恰有一个男孩的有组，顺序相邻的3人中恰有一个女孩的有组，求证。
证明 现将小孩记作，且数字化 则 其中 又设取值为3的有个，取值为的有个，依题意，取值为1的有个，取值为的有个，得 可见，也可以数字化为 有 考虑积 知 2-7-12 有序化 当题目出现多参数、多元素（数、字母、点、角、线段等）时，若按一定的规则（如数的大小，点的次序等），将其重新排列，则排序本身就给题目增加了一个已知条件（有效增设），从而大大降低问题的难度。特别是处理不等关系时，这是一种行之有效的技巧。
例2-154 设有的正方形方格棋盘。在其中任意的3n个方格中各放一枚棋子，求证可以选出行和列，使得3枚棋子都在这n行和n列中。
证明 设3n枚棋子放进棋盘后，2n行上的棋子数从小到大分别为，有 ① ② 由此可证 ③ （1）若，③式显然成立。
（2）若时， 从而 得③式也成立。
据③式，可取棋子数分别为所对应的行，共n行。由于剩下的棋子数不超过n，因而至多取n列必可取完全部3n个棋子。
例2-155 设都是自然数，且满足 ① 求中的最大值。（） 解 由条件的对称性，不妨设 ② 这就改变了条件的对称性，相当于增加了一个条件 否则，，由②知 从而，代入①得 矛盾，这时，由①有 当且时，有最大值，这也就是的最大值。
2-7-13 不变量 在一个变化的数学过程中常常有个别的不变元素或特殊的不变状态，表现出相对稳定的较好性质，选择这些不变性作为解题的突破口是一个好主意。
例2-156 从数集开始，每一次从其中任选两个数，用和代替它们。能否通过有限多次代替得到数集， 解 对于数集，经过一次替代后，得出， 有 即每一次替代后，保持3个元素的平方和不变（不变量）。由知， 不能由替换为。
例2-157 设个整数具有性质；
从其中任意去掉一个，剩下的个数可以分成个数相等的两组，其和相等。证明这2n1个整数全相等。
证明 分三步进行，每一步都有“不变量”的想法。
第一步 先证明这2n1个数的奇偶性是相同的。
因为任意去掉一个数后，剩下的数可分成两组，其和相等，故剩下的2n个数的和都是偶数。因此，任一个数都与这2n1个数的总和具有相同的奇偶性。
第二步 如果具有性质P，则每个数都减去整数之后，仍具有性质P，特别地取，得 也具有性质P，由第一步的结论知，都是偶数。
第三步 由为偶数且具有性质P，可得 都是整数，且仍具有性质P，再由第一步知，这个数的奇偶性相同，为偶数，所以都除以2后，仍是整数且具有性质P，余此类推，对任意的正整数，均有 为整数，且具有性质P，因可以任意大，这就推得 即 2-7-14 整体处理 数学题本身是一个子系统，在解题中，注意对其作整体结构的分析，从整体性质上去把握各个局部，这样的解题观念或思考方法，称为整体处理。
例2-158 九个袋子分别装有9，12，14，16，18，21，24，25，28只球，甲取走若干袋，乙也取走若干带，最后只剩下一袋，已知甲取走的球数总和是乙的两倍，问剩下的一袋内装有球几只 解 从全局上考虑，由于甲取走的球数是乙取走球数的两倍，所以取走的球数总和必是3的倍数，而九个袋子的球数之和被3除余2，所以剩下的一袋也是被3除余2，又由于九袋中，只有，故剩下的袋内装球14只。
例2-159 证明任意3个实数不能同时满足下列三个不等式 证明 若不然，存在3个实数，使 相乘 这一矛盾说明，任意3个实数不能同时满足题设的三个不等式。
2-7-15 变换还原 利用那些具有互逆作用的公式或运算，先作交换，再作还原，是绕过难点，避开险处的一个技巧。
例2-160 求数列的通项，已知 解 引进变换，有 由 得 得 例2-161 证明恒等式 （1） 证明 利用互逆公式 若 （2） 则 （3） 记 先作（2）中的运算 再作（3）中的运算 2-7-16 逐步调整 在涉及到有限多个元素的系统中，系统的状态是有限的，因而总可以经过有限次调整，把系统调整到所要求的状态（常常是极值状态）。
例2-162 已知二次三项式的所有系数都是正的且，求证对于任何满足的正数组，都有 （1） 证明 由知，若 （2） 则（1）中等号成立。
若不全相等，则其中必有（不妨设），由 可作变换 则 当不全相等时，则又进行同样的变换，每次变换都使中等于1的个数增加一个，至多进行次变