辽宁省抚顺市省重点高中协作校2020学年高二数学下学期期末考试试题 文（含解析） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用补集的定义求出，再利用交集的定义得出集合. 【详解】，，，因此，，故选B. 【点睛】本题考查补集和交集的混合运算，要充分理解补集和交集的定义，在求解无限数集之间的运算时，可以利用数轴来理解，考查计算能力，属于基础题. 2.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由题．故本题答案选． 3.若函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用分段函数的解析式先计算出的值，再计算出的值. 【详解】，，因此，，故选C. 【点睛】本题考查分段函数值的计算，解题时要充分利用分段函数的解析式，对于多层函数值的计算，采用由内到外逐层计算，考查计算能力，属于基础题. 4.若是不全相等的实数，求证． 证明过程如下 ，，，， 又不全相等， 以上三式至少有一个“”不成立， 将以上三式相加得， ． 此证法是（ ） A. 分析法B. 综合法C. 分析法与综合法并用D. 反证法 【答案】B 【解析】 【详解】因为，综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，所以，本题用的是综合法，故选B. 5.已知变量、之间的线性回归方程为，且变量、之间的一-组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是（ ） A. 可以预测，当时，B. C. 变量、之间呈负相关关系D. 该回归直线必过点 【答案】B 【解析】 【分析】 将的值代入回归直线方程可判断出A选项的正误；
将的坐标代入回归直线方程可计算出实数的值，可判断出B选项的正误；
根据回归直线方程的斜率的正负可判断出C选项的正误；
根据回归直线过点可判断出D选项的正误. 【详解】对于A选项，当时，，A选项正确；
对于B选项，，，将点的坐标代入回归直线方程得，解得，B选项错误；
对于C选项，由于回归直线方程的斜率为负，则变量、之间呈负相关关系，C选项正确；
对于D选项，由B选项可知，回归直线必过点，D选项正确.故选B. 【点睛】本题考查回归直线方程有关命题的判断，解题时要熟悉与回归直线有关的结论，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题. 6.设，，，则、、的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用指数函数与对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小，从而可得出这三个数的大小关系. 【详解】由于指数函数为增函数，则. 由于对数函数在上为增函数，则，即. 由于对数函数在上为增函数，则，即. 因此，，故选A. 【点睛】本题考查指数式、对数式的大小比较，一般利用中间值、，结合指数函数和对数函数的单调性来得出各数的大小关系，考查逻辑推理能力，属于中等题. 7.函数的图象大致为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题中表达式得到当时，分母趋向于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除BC，当时，分母趋向于0，但是小于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除A.进而得到选项. 【详解】根据题干中的表达式得到x不能等于2，故图中必有渐近线，x2或-2，当时，分母趋向于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除BC，当时，分母趋向于0，但是小于0，分子趋向于4，整个分式趋向于，故排除A. 故答案D. 【点睛】这个题目考查了已知函数的表达式选择函数的图像，这类题目通常是从表达式入手，通过表达式得到函数的定义域，值域，奇偶性，等来排除部分选项，或者寻找函数的极限值，也可以排除选项. 8.已知是定义在上的函数，满足，，当时，，则函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意可知，函数是以为周期的周期函数，且为奇函数，求出函数在区间上的最大值即可作为函数在上的最大值. 【详解】，，则函数为奇函数，则. 由，所以，函数是以为周期的周期函数， 且，又，所以，. 当时，， 那么当时，， 所以，函数在区间上的值域为， 因此，函数的最大值为，故选A. 【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性与函数的最值，解题时要充分注意函数的最值与单调性、周期性之间的关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 9.函数为上的偶函数，且在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 将不等式变为，由偶函数性质得出，由函数在上单调递减得出，解出即可. 【详解】，由得， 由于函数为偶函数，则，， 函数在上单调递减，，可得或， 解得或，因此，满足的的取值范围是， 故选C. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解函数不等式，同时也考查了对数不等式的求解，在解题时，若函数为偶函数，可利用性质，可将问题转化为函数在上的单调性求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 10.设函数，则零点的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 在同一坐标系中作出函数和函数的图象，观察两个函数的交点个数，可得出函数的零点个数. 【详解】令，得，即， 则函数的零点个数等于函数和函数的交点个数， 在同一坐标系中作出函数和函数的图象，如下图所示 由上图可知，函数和函数有两个交点， 因此，函数的零点个数为，故选C. 【点睛】本题考查函数的零点个数的求解，一般有以下两种方法 （1）代数法解方程的根；
（2）图象法求函数的零点个数，可转化为两个函数和函数图象的交点个数. 11.已知幂函数的图象过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设，将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，然后再计算出的值. 【详解】设，由题意可的，即，，则， 所以，， 因此，，故选B. 【点睛】本题考查指数幂的计算，同时也考查了对数运算，解题的关键就是求出幂函数的解析式，同时利用指数幂的运算性质进行计算，考查计算能力，属于中等题. 12.已知函数满足，且存在实数使得不等式成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 在函数分别令和，可得出建立关于和的方程组，求出这两个值，可得出函数的解析式，再利用导数求出函数的最小值，可解出实数的取值范围. 【详解】由题意可得，解得，， 存在实数使得不等式成立，. ，令，得，由于函数单调递增， 当时，；
当时， 所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，即， ，因此，实数的取值范围是，故选D. 【点睛】本题考查函数解析式的求解，同时也考查了利用导数研究不等式能成立问题，转化技巧如下 （1），（或）（或）；
（2），（或）（或）. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.函数在上的最大值与最小值的和为_______. 【答案】 【解析】 【分析】 判断出函数在上的单调性，可求出该函数的最大值和最小值，相加即可得出答案. 【详解】由于函数在上单调递减，则该函数的最大值为，最小值为， 因此，函数在上的最大值与最小值的和为，故答案为. 【点睛】本题考查函数在区间上最值的求解，解题时要充分分析函数的单调性，利用函数单调性得出函数的最大值和最小值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 14.函数的单调递增区间为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 通过换元，找到内外层函数的单调性，根据复合函数单调性的判断方法，得到单调区间. 【详解】函数，设t,函数化为，外层函数是减函数，要求整个函数的增区间，只需要求内层函数的减区间，即t的减区间，为. 故答案为. 【点睛】这个题目考查了复合函数单调区间的求法，满足同增异减的规则，难度中等. 15.现有如下假设 所有纺织工都是工会成员，部分梳毛工是女工，部分纺织工是女工，所有工会成员都投了健康保险，没有一个梳毛工投了健康保险. 下列结论可以从上述假设中推出来的是__________．（填写所有正确结论的编号） ①所有纺织工都投了健康保险 ②有些女工投了健康保险 ③有些女工没有投健康保险 ④工会的部分成员没有投健康保险 【答案】①②③ 【解析】 ∵所有纺织工都是工会成员，所有工会成员都投了健康保险 ∴所有纺织工都投了健康保险，故①正确；
∵所有纺织工都是工会成员，所有工会成员都投了健康保险，部分纺织工是女工 ∴有些女工投了健康保险，故②正确；
∵部分梳毛工是女工，没有一个梳毛工投了健康保险 ∴有些女工没有投健康保险，故③正确；
∵所有工会成员都投了健康保险 ∴工会的部分成员没有投健康保险是错误的，故④错误. 故答案为①②③. 16.函数fx＝xx－m2在x＝1处取得极小值，则m＝________. 【答案】1 【解析】 f′1＝0可得m＝1或m＝3. 当m＝3时，f′x＝3x－1x－3， 10，此时x＝1处取得极大值，不合题意，所以m＝1. 三、简答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分） 17.（Ⅰ）若，求，；
（Ⅱ）在复平面内，复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ），；
（Ⅱ）. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）利用复数的乘法法则可得出复数，再利用共轭复数的定义和模长公式可求出和；
（Ⅱ）根据题意得出，解出这个不等式组可得出实数的取值范围. 【详解】（Ⅰ）， 因此，，；
（Ⅱ）由已知得，解得，或. 因此，实数的取值范围是. 【点睛】本题考查复数的乘法、共轭复数、复数的模以及复数的几何意义，解题的关键就是利用复数的四则运算将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题. 18.设，且. （Ⅰ）求的值及的定义域；
（Ⅱ）求在区间上的最小值. 【答案】（Ⅰ），的定义域为；
（Ⅱ）. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）利用可求出实数的值，再由真数大于零可求出函数的定义域；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，设，求出在上的取值范围，再由对数函数的单调性得出函数在区间上的最小值. 【详解】（Ⅰ）由得，解得， 由得，因此，函数的定义域为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得， 令，由得， 则原函数为，，由于该函数在上单调递减， 所以，因此，函数在区间上的最小值是. 【点睛】本题考查对数的计算、对数函数的定义域以及对数型复合函数的最值，对于对数型复合函数的最值，要求出真数的取值范围，并结合同底数的对数函数单调性求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 19.某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩平均分（采用百分制），剔除平均分在分以下的学生后，共有男生名，女生名.现采用分层抽样的方法，从中抽取了名学生，按性别分为两组，并将两组学生成绩分为组，得到如下所示频数分布表. 分数段 男 女 （Ⅰ）规定分以上为优分（含分），请你根据已知条件作出列联表. 优分 非优分 合计 男生 女