课时作业24 平面向量的概念及其线性运算 [基础达标] 一、选择题 1．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k A．共线 B．不共线 C．共线且同向 D．不一定共线 解析可举特例，当n＝0时，满足m∥n，n∥k，故A，B，C选项都不正确，故D正确． 答案D 2．[2019通州模拟]已知在△ABC中，D是BC的中点，那么下列各式中正确的是 A.＋＝ B.＝＋ C.－＝ D．2＋＝ 解析本题考查向量的线性运算．A错，应为＋＝2；
B错，应为＋＝＋＝；
C错，应为＝＋；
D正确，2＋＝＋＝，故选D. 答案D 3．如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，向量a－b可表示为 A．3e2－e1 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2 解析向量a－b是以b的终点为始点，a的终点为终点的向量．由图形知，a－b＝e1－3e2. 答案C 4．[2019石家庄高中质量检测]在△ABC中，点D在边AB上，且＝，设＝a，＝b，则＝ A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 解析∵＝，∴＝，∴＝＋＝＋＝＋－＝＋＝a＋b，故选B. 答案B 5．如图，已知四边形ABCD是梯形，E，F分别是腰的中点，M、N是线段EF上的两个点，且EM＝MN＝NF，下底是上底的2倍，若＝a，＝b，则＝ A．－a－b B.a＋b C.a＋b D.a－b 解析∵＝＋＝＝a ＝－＝－b， ∴＝＋＋＝＋ －＝a－b－a ＝a－b. 答案D 二、填空题 6．给出下列命题 ①若a＝b，b＝c，则a＝c；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；
④若a∥b，b∥c，则a∥c. 其中正确命题的序号是________． 解析①正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同， 又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同， ∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c. ②正确．∵＝，∴||＝||且∥， 又A，B，C，D是不共线的四点， ∴四边形ABCD为平行四边形；
反之，若四边形ABCD为平行四边形， 则∥且||＝||，因此，＝. ③不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件． ④不正确．考虑b＝0这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是①②. 答案①② 7．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________． 解析＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，所以|＋|＝|－|.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形． 答案直角三角形 8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2λ1，λ2为实数，则λ1＋λ2的值为________． 解析＝＋＝＋＝＋＋＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝. 答案 三、解答题 9．在△ABC中，D，E分别是BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，. 解析＝＋＝a＋b. ＝＋＝＋＝＋＋ ＝＋－ ＝＋ ＝a＋b. 10．设e1，e2是两个不共线向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2. 1求证A，B，D三点共线；
2若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值． 解析1证明由已知得＝－ ＝2e1－e2－e1＋3e2＝e1－4e2， ∵＝2e1－8e2，∴＝2， 又有公共点B， ∴A，B，D三点共线． 2由1可知＝e1－4e2，且＝3e1－ke2， 由B，D，F三点共线得＝λ， 即3e1－ke2＝λe1－4λe2， 得，解得k＝12，∴k＝12. [能力挑战] 11．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与 A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 解析由题意得＝＋＝＋， ＝＋＝＋， ＝＋＝＋， 因此＋＋＝＋＋－ ＝＋＝－， 故＋＋与反向平行． 答案A 12．[2019清华大学自主招生能力测试]O为△ABC内一点，且＋＋2＝0，则△OBC和△ABC的面积比＝________. 解析如图所示，设AB的中点为M，连接OM，则＋＝2，∴＋＋2＝2＋2＝0，即＋＝0，∴点O为线段MC的中点，则S△OBC＝S△MBC＝S△ABC，所以＝. 答案 13．[2019河北百校联盟联考]已知在△ABC中，点D满足2＋＝0，过点D的直线l与直线AB，AC分别交于点M，N，＝λ，＝μ.若λ0，μ0，则λ＋μ的最小值为________． 解析连接AD.因为2＋＝0，所以＝，＝＋＝＋＝＋－＝＋.因为D、M、N三点共线，所以存在x∈R，使＝x＋1－x，则＝xλ＋1－xμ，所以xλ＋1－xμ＝＋，根据平面向量基本定理，得xλ＝，1－xμ＝，所以x＝，1－x＝，所以＋＝1，所以λ＋μ＝λ＋μ＝≥，当且仅当λ＝μ时等号成立，∴λ＋μ的最小值为. 答案